2010 年天津预赛 · 第 8 题

解答

设 $E_j$ 为数字 $j,j+1$ 相邻，$j=1,2,3,4$。对选定的 $s$ 个坏事件，其数字边组成 $r$ 条互不相连的链，必须各粘成一块，每链有两种方向，故交集大小为 $2^r(5-s)!$。 $s=1$ 的交集总数为 $4\cdot 2\cdot 4!=192$。$s=2$ 时，三种相连边对各贡献 $2\cdot 3!$，三种不相连边对各贡献 $4\cdot 3!$，总为一百零八。$s=3$ 时，两种连续三边各贡献 $2\cdot 2!$，另两种分两链各贡献 $4\cdot 2!$，总为二十四。$s=4$ 时只有整条链的两个方向。容斥得