2010 年湖北预赛

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_2=3$，且 $a_{n+2}=|a_{n+1}|-a_n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$。 记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_{100}=\underline{}$。

在 $△ABC$ 中，已知 $\angle B$ 的平分线交 $AC$ 于 $K$。 若 $BC=2$，$CK=1$，$BK=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则 $△ABC$ 的面积为 $\underline{}$。

设 $n<100$，则使得 $(a+b{)}^n$ 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 $n$ 为 $\underline{}$。

在小于 $20$ 的正整数中，每次不重复地取出 $3$ 个数，使它们的和能被 $3$ 整除，不同的取法种数为 $\underline{}$。

若 $x,y,z$ 均为正实数，且 $x^2+y^2+z^2=1$，则

的最小值为 $\underline{}$。

设椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$M$ 为椭圆上异于长轴端点的一点，$\angle F_{1}M{F}_2=2\theta$，$△M{F}_1{F}_2$ 的内心为 $I$，则 $|MI|\cos \theta =\underline{}$。

对于一切 $x\in \left[-2,\frac{1}{2}\right]$，不等式 $a{x}^3-x^2+x+1\ge 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 $\underline{}$。

将总和为 $200$ 的 $10$ 个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于 $58$。所有满足上述要求的 $10$ 个数中，最大数的最大值为 $\underline{}$。

已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=\frac{1}{4}$，且

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   求证：对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，有 $\sum _{k=1}^n{a}_k^2<\frac{7}{6}$。

设 $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$，求使 $P$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值。

已知直线 $y=x$ 与椭圆

交于 $A,B$ 两点。过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$、倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 交弦 $AB$ 于点 $P$，交椭圆 $C$ 于点 $M,N$。

1. (1)

   用 $\alpha$ 表示四边形 $MANB$ 的面积；

2. (2)

   求四边形 $MANB$ 的面积取到最大值时直线 $l$ 的方程。