2010 年湖北预赛 · 第 10 题

解答

记 $B=x^2+3x+1$，则 $P=B^2+30-3x$。若 $x\ge 11$，有 $B>0$、$P<B^2$，且 $P-(B-1{)}^2=2x^2+3x+31>0$，所以不能为整数平方。若 $x\le -7$，则 $B>0$、$P>B^2$；写 $x=-7-t$，$t\ge 0$，有

同样夹在相邻平方之间。 余下 $x=-6,-5,\dots ,10$ 对应的 $P$ 依次为

前16项分别严格在 $k^2$ 与 $(k+1{)}^2$ 之间，$k$ 依次为 $20,12,8,6,6,5,5,7,12,19,29,41,55,71,89,109$。最后一项 $17161=131^2$，所以唯一整数解为 $\boxed{x=10}$。