培玉 · 一试

2022 年重庆预赛

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第 1 题

若不等式

x + y \leq k 5 x + y

对任意正实数 $x, y$ 都成立，则实数 $k$ 的最小值为。

第 2 题

已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ 满足

∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} = ∣ z_{3} ∣^{2} + ∣ z_{4} ∣^{2} = 4, z_{1} \overline{z_{3}} + z_{2} \overline{z_{4}} = 0,

则 $∣ z_{1} z_{4} - z_{2} z_{3} ∣ =$ 。

第 3 题

已知 $x, y, z$ 均为正实数，且满足

x^{l g x} y^{l g y} z^{l g z} = 5, x^{l g (yz)} y^{l g (z x)} z^{l g (x y)} = 2,

则 $x yz =$ 。

第 4 题

将一枚骰子连续投掷五次，则事件“五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数”的概率为。

第 5 题

在半径为 $1$ 的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥，再将该圆锥重新熔成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为。

第 6 题

若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ ，使得

f (x) = cos 2 x - a sin x

在 $(0, nπ)$ 内恰有 $2022$ 个零点，则满足条件的正整数 $n$ 的值有个。

第 7 题

已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 2$ 和圆 $O_{2} : (x - 3)^{2} + y^{2} = 5$ 在第一象限内的公共点为 $A$ 。过点 $A$ 的直线分别交圆 $O_{1}, O_{2}$ 于 $C, D$ 两点（ $C, D$ 异于 $A$ ），且 $A C = 2 A D$ ，则直线 $C D$ 的斜率为。

第 8 题

已知 $a_{1} = 1$ ，

a_{n + 1} = λ a_{n}^{2} + 2 (n \in N_{+}) .

若数列 ${a_{n}}$ 有上界，即存在常数 $M > 0$ 使得 $a_{n} \leq M$ 对一切 $n \in N_{+}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最大值为。

第 9 题

已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A BC$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边， $a = 2$ ，且

(b + 2) sin \frac{C}{2} sin \frac{A - B}{2} = c cos \frac{A}{2} cos \frac{B - C}{2} .

若 $D$ 为 $BC$ 的中点，求 $A D$ 长的最小值。

第 10 题

已知函数 $f : R \to R$ ，若对任意实数 $x, y, z$ 都有

\frac{1}{3} f (x y) + \frac{1}{3} f (x z) - f (x) f (yz) \geq \frac{1}{9},

求

i = 1 \sum 100 ⌊ i f (i)⌋,

其中 $⌊ x ⌋$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。

第 11 题

设 $F$ 是双曲线 $Γ : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左焦点，经过 $F$ 的直线与 $Γ$ 相交于 $M, N$ 两点。

（1）若 $M, N$ 都在双曲线的左支上，求 $△ OMN$ 面积的最小值；

（2） $x$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使得 $PM \cdot PN$ 为定值？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由。