培玉 · 一试

2011 年河南预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值 $S =$ 。

第 2 题

若

a = \frac{ln 2}{2}, b = \frac{ln 3}{3}, c = \frac{ln π}{π}, d = \frac{ln 2.72}{2.72}, f = \frac{10 ln 10}{20},

则 $a, b, c, d, f$ 的大小（按从小到大）顺序为。

第 3 题

若 $α$ 是方程 $x \cdot 1 0^{x} = 2011$ 的解， $β$ 是方程 $x \cdot l g x = 2011$ 的解，则 $α β =$ 。

第 4 题

已知 $a > 0, b > 0$ ，若 $x$ 表示 $1$ 、 $a$ 及 $\frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$ 这三个数中的最小者，当 $a, b$ 变化时， $x$ 的最大值为。

第 5 题

已知在半径为 $5$ 的球面上有 $A, B, C, D$ 四点，若 $A B = 6, C D = 8$ ，则四面体 $A BC D$ 的体积的最大值为。

第 6 题

若 $x \in C$ ，且 $x^{10} = 1$ ，则

1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{2009} + x^{2010} = 。

第 7 题

在棱长为 $1$ 米的正四面体 $A BC D$ 中，有一小虫从顶点 $A$ 处开始按以下规则爬行：在每一顶点处以同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头。记小虫爬了 $n$ 米后重新回到点 $A$ 的概率为 $P_{n}$ ，则 $P_{4} =$ 。

第 8 题

函数

y = x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 10 - x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 5

的最大值为。

第 9 题

（16 分）设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = x^{3} - a x$ 在 $[1, + \infty)$ 上是单调函数。

(1)
求 $a$ 的取值范围；
(2)
若 $x_{0} \geq 1$ ，并满足 $f (x_{0}) \geq 1$ ， $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，求证： $f (x_{0}) = x_{0}$ 。

第 10 题

（20 分）如图，已知四棱锥 $P$ - $A BC D$ ，底面 $A BC D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A BC D$ ， $∠ A BC = 6 0^{\circ}$ ， $E, F$ 分别是 $BC, PC$ 的中点。

(1)
证明： $A E ⊥ P D$ ；
(2)
若 $H$ 为 $P D$ 上的动点， $E H$ 与平面 $P A D$ 所成最大角的正切值为 $\frac{6}{2}$ ，求二面角 $E$ - $A F$ - $C$ 的余弦值。

第 11 题

（20 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点 $O$ 为圆心，分别以 $a, b$ （ $a > b > 0$ ）为半径作两个圆。点 $Q$ 是大圆半径 $OP$ 与小圆的交点；过点 $P$ 作 $PN ⊥ O x$ ，垂足为 $N$ ；过点 $Q$ 作 $QM ⊥ PN$ ，垂足为 $M$ 。记当半径 $OP$ 绕点 $O$ 旋转时点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ 。

(1)
求曲线 $E$ 的方程；
(2)
设 $A, B, C$ 为曲线 $E$ 上的三点，且满足 $O A + OB + OC = 0$ ，求 $△ A BC$ 的面积。