2014 年安徽预赛

函数 $y=\frac{x^2+2x+3}{x^2+4x+5}$（$x\in \mathbb{R}$）的值域是。

函数 $y=\tan (2013x)-\tan (2014x)+\tan (2015x)$ 在 $[0,\pi ]$ 中的零点个数是。

设定点 $A(2,1)$，动点 $B$ 在 $x$ 轴上，动点 $C$ 在直线 $y=x$ 上，则 $△ABC$ 的周长的最小值是。

设 $P_1\text{、}{P}_2$ 是平面上两点，$P_{2k+1}$ 是 $P_{2k}$ 关于 $P_1$ 的对称点，$P_{2k+2}$ 是 $P_{2k+1}$ 关于 $P_2$ 的对称点，$k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。若 $|P_1{P}_2|=1$，则 $|P_{2013}{P}_{2014}|=\underline{}$。

已知四面体 $ABCD$ 的侧面展开图如右图所示，则其体积是。

设复数 $z$ 满足 $\left|z+\frac{1}{z}\right|\le 2$，则 $|z|$ 的取值范围是。

设动点 $P(t,0)$、$Q(1,t)$，其中参数 $t\in [0,1]$，则线段 $PQ$ 扫过的平面区域的面积是。

从正 $12$ 边形的顶点中取出 $4$ 个顶点，它们两两不相邻的概率是。

已知正实数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$。求证：

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+3}{2a_n}$，$n\ge 1$。求证：

1. (1)

   当 $n\ge 2$ 时，$a_n$ 严格单调递减；

2. (2)

   当 $n\ge 1$ 时，$\left|a_{n+1}-\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}\frac{r^{2^n}}{1-r^{2^n}}$，这里 $r=2-\sqrt{3}$。

已知平面凸四边形 $ABCD$ 的面积为 $1$。求证：