2025 年广西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知虚数 $z$ 使得

z_{1} = \frac{z}{1 + z ^{2}}, z_{2} = \frac{z ^{2}}{1 + z}

都是实数，则 $z =$ 。

若

lo g_{5} (x + 2 y) + lo g_{5} (x - 2 y) = 1,

则 $∣ x ∣ - ∣ y ∣$ 的最小值是。

在

(x + \frac{4}{x} + 4)^{6}

的展开式中， $x^{4}$ 的系数是。（用具体数字作答）

已知 $△ A BC$ 的外心为 $O$ ，且

4 O A + 3 OB + 2 OC = 0,

则 $cos ∠ A BC =$ 。

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{0} = \frac{1}{3}$ ，且对一切自然数 $n$ 都有

a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n},

则

n = 0 \sum 2025 \frac{1}{a _{n} + 1}

的整数部分是。

一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为。

直线

\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1

与椭圆

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

相交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 在该椭圆上，且满足 $△ P A B$ 的面积等于 $9$ ，这样的 $P$ 点的个数是。

设 $Z_{+}$ 为全体正整数集，

A = {n ∣ n \in Z_{+}, 3 ∣ n 且 4 ∤ n}, B = {n ∣ n \in Z_{+}, 5 ∣ n}, C = A \cup B .

将 $C$ 中的元素从小到大排列得到数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{2025} =$ 。

在七个数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ 的所有排列中，求至少有两个相邻数字不互质的概率。

已知

f (x) = (x - 1)^{2}, g (x) = 4 (x - 1) .

数列 ${a_{n}}$ 满足

(a_{n + 1} - a_{n}) g (a_{n}) + f (a_{n}) = 0, a_{1} = 2.

数列 ${b_{n}}$ 满足

b_{n} = 3 f (a_{n}) - g (a_{n + 1}) .

求 $b_{n}$ 的最大值与最小值。

在直角三角形 $A BC$ 的斜边 $A B$ 上取一点 $D$ ，使得 $△ A C D$ 和 $△ BC D$ 的内切圆半径相等。求证：

C D^{2} = S_{△ A BC} .

已知 $a, b, c$ 是正实数。求证：

ab c \geq \frac{a + b + c}{\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}} \geq (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) .