2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

不等式 $\frac{20}{x-9}>\frac{22}{x-11}$ 的解集为。

在平面直角坐标系中，以抛物线 $\Gamma :y^2=6x$ 的焦点为圆心作一个圆 $\Omega$，与 $\Gamma$ 的准线相切，则圆 $\Omega$ 的面积为。

函数 $f(x)=\lg 2\cdot \lg 5-\lg (2x)\cdot \lg (5x)$ 的最大值为。

一枚不均匀的硬币，若随机地掷它两次均得到正面的概率为 $1/2$，则随机地掷它两次得到正面、反面各一次的概率为。

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，且 $\mathrm{Re}\frac{z+1}{\overline{z}+1}=\frac{1}{3}$，则 $\mathrm{Re}\frac{z}{\overline{z}}$ 的值为。

若正四棱锥 $P-ABCD$ 的各条棱长均相等，$M$ 为棱 $AB$ 的中点，则异面直线 $BP$ 与 $CM$ 所成角的余弦值为。

若 $△ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足 $\cos A=\sin B=2\tan \frac{C}{2}$，则 $\sin A+\cos A+2\tan A$ 的值为。

一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的。如图，一个 $1\times 3$ 方格表的表格线共含 $10$ 条单位长线段，现要对这 $10$ 条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的。这样的染色方式数为（答案用数值表示）。

（本题满分 $16$ 分）在平面直角坐标系中，$F_1,F_2$ 是双曲线 $\Gamma :\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的两个焦点，$\Gamma$ 上一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=1$。求点 $P$ 到 $\Gamma$ 的两条渐近线的距离之和。

（本题满分 $20$ 分）设正数 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ 满足：$a_1,a_2,a_3$ 成公差为 $b_1$ 的等差数列，$b_1,b_2,b_3$ 成公比为 $a_1$ 的等比数列，且 $a_3=b_3$。求 $a_3$ 的最小值，并确定当 $a_3$ 取到最小值时 $a_2{b}_2$ 的值。

（本题满分 $20$ 分）若 $a,b$ 为实数，$a<b$，函数 $y=\sin x$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值与最小值之差为 $1$，求 $b-a$ 的取值范围。