2021 年上海预赛

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-4,+\infty )$，且满足对任意实数 $t$，都有

则 $f(x)$ 的解析式是 $f(x)=$。

已知正四棱柱 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 的底面边长为 $a$，侧棱长为 $b$，则过 $A{A}^{\prime }$ 的中点 $M$ 和顶点 $D,B^{\prime }$ 的平面与正四棱柱 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 相截所得的截面面积 $S=$。

设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1011$，且对任意正整数 $n$，均有

则 $a_{2021}=$。

已知整数 $n>3$，把 $n$ 个人分成两组，每组至少 $2$ 个人，则不同的分法共有 种。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，动点 $A$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上，点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$。若点 $C$ 使得三角形 $ABC$ 是等边三角形，则 $|OC|$ 的最大值为 。

已知三角形 $ABC$ 的三边长均为正整数，若 $\angle A=2\angle B$，且 $CA=9$，则 $BC$ 的最小可能值是。

一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为 $a$ 和 $b$。则使得关于 $x$ 的三次方程

有三个互不相等的实数根的概率 $P=$。（用数字作答）

在 $△ABC$ 中，$AB=c$，$\angle A=\alpha$（$30^{\circ }<\alpha <45^{\circ }$）， $\angle C=90^{\circ }$。边 $AC$ 的中点为 $M$，边 $AB$ 上的点 $P$（不是 $AB$ 的中点）满足 $PC=\frac{c}{2}$。$PC$ 与 $BM$ 的交点为 $D$，则 $CD$ 的长为 。（用 $c,\alpha$ 表示）

已知正实数 $a,b$ 满足 $a(a+b)=27$，求 $a^{2}b$ 的最大值。

设质数 $p$ 满足 $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，且

若

这里的 $m,n$ 是互质的正整数。求证：$p$ 整除 $m$。其中，$\lfloor x\rfloor$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。

在正整数 $1,2,\dots ,20210418$ 中，有多少个数的数码和是 $8$？

给定整数 $n\ge 3$。设 $A_1,A_2,\dots ,A_n$（允许有重合）是以 $O$ 为圆心的单位圆 $\Omega$ 上的点。记

其中 $A_0=A_n,A_{n+1}=A_1$。求

的最大值。