2016 年陕西预赛

已知集合 $M=\{1,2,3,\dots ,10\}$，$A$ 是 $M$ 的子集，且 $A$ 中各元素的和为 $8$，则满足条件的子集 $A$ 共有（ ）。

1. (A)

   $8$ 个

2. (B)

   $7$ 个

3. (C)

   $6$ 个

4. (D)

   $5$ 个

在平面直角坐标系中，不等式组 $\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y\le 0,\\ x-\sqrt{3}y+2\ge 0,\\ y\ge 0\end{array}$ 表示的平面区域的面积是（ ）。

1. (A)

   $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. (B)

   $\sqrt{3}$

3. (C)

   $2$

4. (D)

   $2\sqrt{3}$

设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 是同一平面内的三个单位向量，且 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则 $(\vec{c}-\vec{a})\cdot (\vec{c}-\vec{b})$ 的最大值是（ ）。

1. (A)

   $1+\sqrt{2}$

2. (B)

   $1-\sqrt{2}$

3. (C)

   $\sqrt{2}-1$

4. (D)

   $1$

从 $1,2,\dots ,20$ 这 $20$ 个数中任取 $3$ 个不同的数，则这 $3$ 个数构成等差数列的概率为（ ）。

1. (A)

   $\frac{3}{19}$

2. (B)

   $\frac{1}{19}$

3. (C)

   $\frac{3}{38}$

4. (D)

   $\frac{1}{38}$

$A,B$ 是抛物线 $y=3-x^2$ 上关于直线 $x+y=0$ 对称的相异两点，则 $|AB|$ 等于（ ）。

1. (A)

   $3$

2. (B)

   $4$

3. (C)

   $3\sqrt{2}$

4. (D)

   $4\sqrt{2}$

如图，在棱长为 $1$ 的正四面体 $ABCD$ 中，$G$ 为 $△BCD$ 的重心，$M$ 是线段 $AG$ 的中点，则三棱锥 $M$-$BCD$ 的外接球的表面积为（ ）。

1. (A)

   $\pi$

2. (B)

   $\frac{3}{2}\pi$

3. (C)

   $\frac{\sqrt{6}}{4}\pi$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{6}}{8}\pi$

设非负实数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=a+b+c>0$，则 $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ 的最小值为（ ）。

1. (A)

   $2$

2. (B)

   $3$

3. (C)

   $\sqrt{3}$

4. (D)

   $2\sqrt{2}$

在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_4=1,a_{11}=9$，且任意连续三项的和都是 $15$，则 $a_{2016}=\underline{}$。

设 $m,n$ 均为正整数，且满足 $24m=n^4$，则 $m$ 的最小值是 $\underline{}$。

设 $f(x),g(x)$ 分别是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数和偶函数，且 $f(x)+g(x)=2^x$。若对 $x\in [1,2]$，不等式 $af(x)+g(2x)\ge 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$。

设 $x\in \mathbb{R}$，则函数

的最小值为 $\underline{}$。