2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_9=13,a_{13}=1$，求 ${\log }_{a_1}13$。

在椭圆 $\Gamma$ 中，$A$ 为长轴的一个端点，$B$ 为短轴的一个端点，$F_1,F_2$ 为两个焦点。若 $\overrightarrow{A{F}_1}\cdot \overrightarrow{A{F}_2}+\overrightarrow{B{F}_1}\cdot \overrightarrow{B{F}_2}=0$，求 $|AB|/|F_1{F}_2|$。

设 $a>0$，函数 $f(x)=x+100/x$ 在区间 $(0,a]$ 上的最小值为 $m_1$，在区间 $[a,+\infty )$ 上的最小值为 $m_2$。若 $m_1{m}_2=2020$，求 $a$。

设 $z$ 为复数，若 $(z-2)/(z-i)$ 为实数（$i$ 为虚数单位），求 $|z+3|$ 的最小值。

在 $△ABC$ 中，$AB=6,BC=4$，边 $AC$ 上的中线长为 $\sqrt{10}$，求 ${\sin }^6(A/2)+{\cos }^6(A/2)$。

正三棱锥 $P-ABC$ 的所有棱长均为1，$L,M,N$ 分别为棱 $PA,PB,PC$ 的中点，求该三棱锥的外接球被平面 $LMN$ 所截的截面面积。

设 $a,b>0$，关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b$ 恰有三个不同的实数解 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3=b$，求 $a+b$。

现有10张卡片，每张卡片上写有 $1,2,3,4,5$ 中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同。将这10张卡片放入标号为 $1,2,3,4,5$ 的五个盒子，规定写有 $i,j$ 的卡片只能放在 $i$ 号或 $j$ 号盒子中。如果1号盒中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数，称放法为“好的”。求好的放法数。

在 $△ABC$ 中，$\sin A=\sqrt{2}/2$。求 $\cos B+\sqrt{2}\cos C$ 的取值范围。

对正整数 $n$ 及实数 $x$（$0\le x<n$），定义 $f(n,x)=(1-\{x\})\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{[x]}\right)+\{x\}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{[x]+1}\right)$，其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，$\{x\}=x-[x]$。若整数 $m,n\ge 2$ 满足 ${\sum }_{k=1}^{mn-1}f(m,k/n)=123$，求 ${\sum }_{k=1}^{mn-1}f(n,k/m)$。

在平面直角坐标系中，点 $A,B,C$ 在双曲线 $xy=1$ 上，且 $△ABC$ 为等腰直角三角形。求 $△ABC$ 面积的最小值。