培玉 · 一试

2016 年山西预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 11/11 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

已知十二个互不相同的正整数之和为 $2016$ ，则这些正整数的最大公约数的最大值是。

第 2 题

若 $a, b, c$ 为给定的互不相同的实数，则代数式

f (x) = \frac{a ^{2} ( x - b ) ( x - c )}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{b ^{2} ( x - c ) ( x - a )}{( b - a ) ( b - c )} + \frac{c ^{2} ( x - a ) ( x - b )}{( c - a ) ( c - b )}

经化简后得到。

第 3 题

若椭圆两准线之间的距离等于两焦点之间距离的两倍，则其离心率 $e =$ 。

第 4 题

设 $n$ 为正整数，使得 $3$ 介于 $\frac{n + 3}{n}$ 与 $\frac{n + 4}{n + 1}$ 之间，则 $n =$ 。

第 5 题

已知正三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高为 $2$ ，底面边长为 $1$ ，上底面正三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心为 $P$ 。过下底边 $BC$ 作平面 $BC D ⊥ A P$ ，与棱 $A A_{1}$ 交于 $D$ ，则截面三角形 $BC D$ 的面积为。

第 6 题

若函数 $y = 3 sin x - 4 cos x$ 在 $x_{0}$ 处取得最大值，则 $tan x_{0}$ 的值为。

第 7 题

设集合

A = {n (n + 1) ∣ n = 1, 2, \dots}, B = {3 m - 1 ∣ m = 1, 2, \dots} 。

若将集合 $A \cap B$ 的元素按自小到大的顺序排列成一个数列 ${a_{k}}$ ，则数列 ${a_{k}}$ 的通项公式为

a_{k} = 。

第 8 题

设

a_{k} = \frac{2 ^{k}}{3 ^{2^{k}} + 1}, k 为自然数,

令 $A = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{9}$ ， $B = a_{0} a_{1} \dots a_{9}$ ，则

\frac{A}{B} = 。

第 9 题

设直线 $y = x + 2$ 与椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

相交于 $M, N$ 两点，且 $OM ⊥ ON$ （其中 $O$ 为原点）。若 $MN = 6$ ，求椭圆的方程。

第 10 题

在 $△ A BC$ 中， $M, N$ 分别是边 $A B, A C$ 上的点，且满足

\frac{BM}{M A} + \frac{CN}{N A} = 1 。

证明：线段 $MN$ 经过 $△ A BC$ 的重心。

第 11 题

已知在正整数 $n$ 的各位数字中，共含有 $a_{1}$ 个 $1$ ， $a_{2}$ 个 $2$ ， $\dots$ ， $a_{9}$ 个 $9$ ；证明：

2^{a_{1}} \cdot 3^{a_{2}} \cdot 4^{a_{3}} \dots 1 0^{a_{9}} \leq n + 1,

并请确定使等号成立的条件。