2015 年山西预赛

设 $M=\{1,2,\dots ,12\}$，三元集 $A=\{a,b,c\}$ 满足 $A\subset M$，且 $a+b+c$ 为平方数，则这种集合 $A$ 的个数是。

若 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{5}$，则 $\left|\sin \alpha -\cos \alpha \right|=\underline{}$。

函数 $y=\frac{\sqrt{1-x^2}}{2+x}$ 的值域是。

一个长方体的体积为 $8{\mathrm{cm}}^3$，全面积为 $32{\mathrm{cm}}^2$，若其长、宽、高成等比数列，则此长方体全部棱长之和为。

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，若焦点到椭圆上的点的最短距离为 $\sqrt{3}$，则 $(a,b)=\underline{}$。

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项为互异正数，且其倒数构成等差数列，则

设 $a=\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{3z+1}$，其中 $x+y+z=1$，$x,y,z\ge 0$，则 $[a]=\underline{}$。

将各位数字和为 $8$ 的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列 $\{a_n\}$，称为 $P$ 数列，则 $2015$ 是其中第项。

给定圆 $P:x^2+y^2=2x$ 及抛物线 $S:y^2=4x$，过圆心 $P$ 作直线 $l$，此直线与上述两曲线的四个交点自上而下顺次记为 $A,B,C,D$。如果线段 $AB,BC,CD$ 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线 $l$ 的方程。

如图，$A_1,B_1,C_1$ 是 $△ABC$ 外接圆 $\odot O$ 上的点，满足 $A{A}_1\Vert B{B}_1\Vert C{C}_1$。$P$ 是 $\odot O$ 上的任意一点。若直线 $P{A}_1$ 交直线 $BC$ 于 $D$，$P{B}_1$ 交直线 $CA$ 于 $E$，$P{C}_1$ 交直线 $AB$ 于 $F$，证明：$D,E,F$ 三点共线。

若集合 $M=\{1,2,\dots ,200\}$ 的子集 $A$ 中的每个元素都可表为两个正整数（允许相同）的平方和，求这种子集 $A$ 中元素个数的最大值。