2015 年山西预赛 · 第 11 题

解答

记 $E=\{u^2+v^2\le 200:u,v\text{ 为正整数}\}$。全部选入 $E$ 即得到最大子集，故只需求 $|E|$。由对称性取 $u\le v$，则 $1\le u\le 10$，且 $u\le v\le \lfloor \sqrt{200-u^2}\rfloor$。按 $u$ 从小到大列举，只保留此前尚未出现的和，得到

由平方根范围可知列表穷尽，每个新增数确有对应正整数平方表示；去重后各行数量为 $14,13,11,9,7,6,4,2,2,0$。因此