2026 年重庆预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设集合 $A = {1, m}$ ，其中 $m$ 为实数。令集合

B = {a + b ∣ a \in A, b \in A},

若 $A \cap B$ 恰有一个元素，则 $A \cup B$ 的元素之和为。

已知两个不相等的正实数 $a, b$ 均满足方程

(\frac{4}{3})^{x} = lo g_{\frac{4}{3}} x,

则

(a + b) lo g_{ab} \frac{3}{4}

的值为。

已知函数 $f (x) = A sin ω x$ （ $A > 0, ω > 0$ ）的图象与直线 $y = 1$ 在区间 $[0, π]$ 上恰有 $3$ 个交点，从左往右依次为 $P, Q, R$ ，且 $PR = 3 PQ$ ，则 $A + ω$ 的取值范围为。

定义在 $[0, 1]$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in [0, 1]$ ，均有

f (x) + f (1 - x) = 1,

且对任意 $x \in [0, \frac{1}{3}]$ ，均有 $f (3 x) = 2 f (x)$ 。则

f (\frac{1}{10}) + f (\frac{1}{13})

的值为。

四面体 $A BC D$ 满足

A B = BC = C D = 2, A C = A D = B D = 3,

则二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为。

设双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 4$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l : x = 2$ 。 $C$ 右支上一点 $P$ （非顶点）在 $l$ 上的投影为 $Q$ ，记 $△ PFQ$ 的面积为 $S$ ，则

\frac{PF \cdot PQ + 1}{S}

的最小值为。

本题整理中，不计分。

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有

a_{n + 1} = \frac{1}{[ a _{n} ] - { a _{n} }} + 1.

则 $a_{2026} =$ 。

已知 $△ A BC$ 的内角 $A, B, C$ 满足

sin A + cos B = cos A + sin B = cot C,

求 $cos C$ 的值。

在平面直角坐标系中，椭圆

Γ : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)

的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，圆 $Ω$ 过 $F_{1}, F_{2}$ 且与 $Γ$ 相交。设 $Ω$ 与 $Γ$ 的某一条公切线与圆 $Ω$ 切于点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，求 $y_{0}$ 的所有可能值。

(1)
求证：对任意复数 $a, b, c$ ，有
$∣ a + b ∣^{2} + ∣ b + c ∣^{2} + ∣ c + a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + ∣ a + b + c ∣^{2} .$
(2)
若复数 $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{2026}$ 满足 $z_{1} + z_{2} + \dots + z_{2026} = 1$ ，求
$k = 1 \sum 2026 (∣ z_{k} + i ∣ - ∣ z_{k} ∣)$
的最大值，其中 $i$ 为虚数单位。