2026 年广西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

一个九宫格如图所示，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线三个格内的复数和都相等，则 $x$ 表示的复数是。

集合

A = {x \frac{x - 1}{x + 1} < 0}, B = {x ∣ ∣ x - b ∣ < a} .

若“ $a = 1$ ”是“ $A \cap B \neq = \emptyset$ ”的充分条件，则 $b$ 的取值范围是。

设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和，若不等式

a_{n}^{2} + \frac{S _{n}^{2}}{n ^{2}} \geq λ a_{1}^{2}

对任何等差数列 ${a_{n}}$ 及任何正整数 $n$ 恒成立，则 $λ$ 的最大值为。

若函数

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 22 y + 2 + x^{2} + y^{2} + 22 x + 2 + x^{2} + y^{2} - 22 x + 2,

则 $f (x, y)$ 的最小值是。

设函数 $f (x) = e^{x} - 1 - x - a x^{2}$ ，当 $x > 0$ 时单调递增，则 $a$ 的取值范围是。

已知 $P$ 为直线 $y = x + 1$ 上一点， $M, N$ 分别为圆

C_{1} : (x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 4, C_{2} : x^{2} + (y - 2)^{2} = 1

上的点，则 $∣ PM ∣ - ∣ PN ∣$ 的最大值为。

在长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B : BC : C C_{1} = 1 : 1 : 2$ 。若二面角 $A - B D_{1} - A_{1}$ 的度数为 $α$ ，则 $tan α =$ 。

使得 $1 \leq a \leq b \leq 100$ ，且 $69 ∣ ab$ 的正整数对 $(a, b)$ 的个数是。

一个袋子中装有 $m$ 个红球和 $n$ 个白球（ $m > n \geq 4$ ），它们除了颜色不同外，其余都相同。现从中任取两个球。

（1）若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证： $m$ 必为奇数；

（2）若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足 $m + n \leq 40$ 的所有数组 $(m, n)$ 。

设 $C D$ 是椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

的一条过中心的弦，过椭圆的左顶点 $A$ 作 $C D$ 的平行线，交椭圆于另一点 $N$ ，交 $y$ 轴于点 $M$ 。求证：

A M \cdot A N = CO \cdot C D .

本题整理中，不计分。

已知函数

f (x) = x ln x - \frac{1}{2} m x^{2} - x, m \in R .

（1）当 $m = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的所有零点；

（2）设 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ 。