2021 年四川预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

过抛物线 $y = x^{2}$ 上两点 $A (1, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 分别作抛物线的切线 $l_{1}, l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $C$ 。若 $A C \cdot BC = 0$ ，则 $x_{2} =$ 。

第 2 题

已知在凸五边形 $A BC D E$ 中， $D E ∥ A C$ ， $∠ A D C = 9 0^{\circ}$ ， $A C = 12$ ， $C D = 6$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ， $∠ BCE = 6 0^{\circ}$ 。则 $△ BCE$ 面积的最小值为。

第 3 题

已知在三棱锥 $D - A BC$ 中， $∠ A CB = ∠ A B D = 9 0^{\circ}$ ， $C A = CB$ ， $∠ B A D = 3 0^{\circ}$ 。若点 $C$ 在平面 $A B D$ 上的射影恰好在 $A D$ 上，则二面角 $C - A B - D$ 的平面角的正弦值为。

第 4 题

设 $x, y, z$ 为正实数，

M = max {x y + \frac{2}{z}, z + \frac{2}{y}, y + z + \frac{1}{x}} .

则 $M$ 的最小值为。

第 5 题

设函数

f (x) = x - ln (a x + 2 a + 1) + 2.

若对于任意 $x \geq - 2$ ，均有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为。

第 6 题

k = 0 \sum 2022 (k 2022) cos \frac{( 1011 - k ) π}{2}

的值为。

第 7 题

设集合

T = {(a, b, c) ∣ a, b, c \in N_{+}, 且 a, b, c 可构成某个三角形的三边长} .

则

(a, b, c) \in T \sum \frac{2 ^{a}}{3 ^{b} \cdot 5 ^{c}}

的值为。

第 8 题

在一个 $3 \times 3$ 的方格表中，若 $9$ 个小方格中的每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一，任意两个有公共边的小方格的染色均不相同，且该方格表中恰有 $2$ 个小方格染蓝色，则符合条件的染色方法数种数为。（用具体数字作答）

第 9 题

已知椭圆

Γ : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的两顶点为 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ 。点 $P$ （不同于 $A, B$ ）在椭圆 $Γ$ 上，点 $D$ 的坐标为 $(- 4, 0)$ ， $D E = \frac{3}{5} D P$ ，直线 $A P$ 与 $BE$ 交于点 $Q$ 。求点 $Q$ 的轨迹方程。

第 10 题

给定正整数 $a, b$ ，其中 $a < b$ 。数列 ${F_{n}}$ 满足

F_{1} = a, F_{2} = b, F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} (n \in N_{+}) .

若不存在无穷多个正整数 $k$ ，使得 $1 + m F_{k} F_{k + 2}$ 为完全平方数，则称 $m$ 具有性质 $P$ 。求证：存在无穷多个正整数 $m$ 具有性质 $P$ 。

第 11 题

求最大的正整数 $n$ ，使得对满足

i = 1 \prod n a_{i} = 1

的任意正实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，均有

i = 1 \sum n \frac{a _{i}}{a _{i + 1}} + i = 1 \sum n \frac{a _{i + 1}}{a _{i}} \geq 2 i = 1 \sum n a_{i}

恒成立，其中 $a_{n + 1} = a_{1}$ 。