2018 年湖北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

若对任意的 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ，不等式

4 + 2 sin θ cos θ - a sin θ - a cos θ \leq 0

恒成立，则实数 $a$ 的最小值为。

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，

4 a_{n + 1} - a_{n + 1} a_{n} + 4 a_{n} = 9,

则 $a_{2018} =$ 。

设 $f (x)$ 是定义在 $(0, + \infty)$ 上的单调函数，若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有

f [f (x) - 2 lo g_{2} x] = 4,

则不等式 $f (x) < 6$ 的解集为。

已知点 $P$ 在离心率为 $2$ 的双曲线

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

上， $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线的两个焦点，且 $P F_{1} \cdot P F_{2} = 0$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径 $r$ 与外接圆半径 $R$ 之比为。

设 $G$ 为 $△ A BC$ 的重心，若 $BG ⊥ CG$ ，且 $BC = 2$ ，则 $A B + A C$ 的最大值为。

一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则该事件的概率为。

设正实数 $x, y$ 满足

x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{27}{4},

则

P = \frac{15}{x} - \frac{3}{4 y}

的最小值为。

设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{3} - n$ ， $n \in N^{*}$ 。将该数列中个位数字为 $0$ 的项按从小到大的顺序排列，构成数列 ${b_{n}}$ ，则 $b_{2018}$ 被 $7$ 除所得的余数为。

已知 $O$ 为坐标原点， $N (1, 0)$ ，点 $M$ 为直线 $x = - 1$ 上的动点。 $∠ MON$ 的平分线与直线 $MN$ 交于点 $P$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ 。

(1)
求曲线 $E$ 的方程；
(2)
过点 $Q (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，若直线 $l$ 与曲线 $E$ 恰好有一个公共点，求 $k$ 的取值范围。

对任意正整数 $m, n$ ，定义函数 $f (m, n)$ 如下：

f (1, 1) = 1,

f (m + 1, n) = f (m, n) + 2 (m + n),

f (m, n + 1) = f (m, n) + 2 (m + n - 1) .

(1)
求 $f (m, n)$ 的解析式；
(2)
设
$a_{n} = \frac{f ( n , n )}{2 ^{n - 1}} (n \in N^{*}),$
$S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明 $S_{n} < 6$ 。