培玉 · 一试
2018 年湖北预赛 · 第 6 题
F2填空题概率
一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则该事件的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
每个非降点数序列由六种点数各出现几次唯一确定。
思路
用可重复选取四个点数的计数，再除以全部有序投掷结果。
解答
令四次点数为 ，其中 。设 ，则
反之，任选四个这样的 ，令 ，就得到唯一的合法非降序列。因此有利结果数为 。全部 个有序投掷结果等可能，故概率为
复核
不能简单把概率写成 ，因为出现重复点数时排列数量少于 。直接枚举四个点数的有序结果，也有恰好 个满足非降条件。
方法总结
允许相等的单调整数序列，可通过加上递增偏移变为严格递增序列，再转成组合选择；分母仍是原来的有序等可能结果数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
非降骰子点数允许重复，不能按所有严格排列等分概率；须将弱递增整数列可逆地加上偏移变成严格选择，再用原有序样本总数作分母。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：把对象唯一编码后分类计数
已记下，谢谢！