2018 年湖北预赛 · 第 10 题

解答

由两种增量可验证 $\boxed{f(m,n)=(m+n-1{)}^2+m-n}$：它在 $(1,1)$ 取一，分别增加 $m$ 或 $n$ 时的差恰为原题两式。任一点都可从 $(1,1)$ 经正向单位步到达，所以此表达式已唯一确定。于是 $\sqrt{f(n,n)}=2n-1$，$a_n=(2n-1)/2^{n-1}$。有限加权几何和给 $\boxed{S_n=6-(4n+6)/2^n<6}$。该和式也可用首项一及相邻差 $(2n-1)/2^{n-1}$ 直接验证。