2026 年湖南预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知实数 $x$ 满足

∣ lo g_{2} x + 5 i ∣ = 13,

其中 $i$ 为虚数单位，则 $x =$ 。

将集合

{2^{x} + 0^{y} + 2^{z} + 6^{w} ∣ x, y, z, w \in N_{+}, x \leq y \leq z \leq w}

中的元素从小到大排列，则第 $2026$ 个数为。

在 $△ A BC$ 中， $A B = 2, A C = 4, ∠ A = 12 0^{\circ}$ 。动点 $P$ 满足

(P A + PB) \cdot (P A + PC) = 0,

则 $∣ P A ∣$ 的最大值是。

定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足其函数图像关于 $x + 2 y - 5 = 0$ 对称，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 3 x - x^{2}$ ，则 $f (\frac{9}{2}) =$ 。

设复数 $α, β, γ, z$ 满足

∣ z ∣ = 3, α + β + γ = α β + β γ + γ α = α β γ = 1.

则 $∣ α - z ∣ + 3∣ β - z ∣$ 的最小值为。

本题整理中，不计分。

过点 $P (2, 1)$ 作两条斜率互为相反数的直线，交椭圆

\frac{x ^{2}}{6} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 均不与 $P$ 重合）。若椭圆上另一点 $Q$ 是位于直线 $A B$ 下方的动点，则 $△ Q A B$ 面积的最大值为。

有 $2$ 个字母 $I$ 、 $4$ 个字母 $M$ 、 $8$ 个字母 $O$ （相邻字母没有区别），将它们排成一排，要求每个 $I$ 的左侧或右侧相邻的位置至少有一个 $M$ 。则所有满足条件的排列总数为。

设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列。若

a_{1} b_{1} = 20, a_{2} b_{2} = 26, a_{3} b_{3} > 0,

求 $a_{4} b_{4}$ 的最大值。

在 $△ A BC$ 中，若

cot \frac{A}{2} + 2 cot \frac{B}{2} = 19 cot \frac{C}{2},

求 $cos C$ 的最小值。

设椭圆

Γ : \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1,

$Γ$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ 。 $P$ 为椭圆

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{20} = 1

上一个动点， $P$ 在 $Γ$ 外。过 $P$ 作 $Γ$ 的两条切线，切点为 $M, N$ 。求

cos ∠ F_{1} P F_{2} - cos ∠ MPN

的取值范围。

设整数 $m, n > 1$ 。设正整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 和 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}$ 满足

i = 1 \sum n a_{i} = j = 1 \sum m b_{j} < mn .

求证：存在集合 ${1, 2, \dots, n}$ 的非空真子集 $A$ 以及集合 ${1, 2, \dots, m}$ 的非空真子集 $B$ ，满足

i \in A \sum a_{i} = j \in B \sum b_{j} .