2010 年安徽预赛

函数 $f(x)=2x-\sqrt{4x-x^2}$ 的值域是。

函数 $y=\underline{}$ 的图象与 $y=e^x$ 的图象关于直线 $x+y=1$ 对称。

正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于。

设椭圆 $\frac{x^2}{t+1}+\frac{y^2}{t-1}=1$ 与双曲线 $xy=1$ 相切，则 $t=\underline{}$。

设 $z$ 是复数，则 $|z-1|+|z-i|+|z+1|$ 的最小值等于。

设 $a,b,c$ 是实数，若方程 $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ 的三个根构成公差为 $1$ 的等差数列，则 $a,b,c$ 应满足的充分必要条件是。

设 $O$ 是 $△ABC$ 的内心，$AB=5,AC=6,BC=7$，$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，$0\le x,y,z\le 1$。动点 $P$ 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于。

从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是。

（20 分）设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，$a_n=\frac{2}{1+a_{n-1}}$，$n\ge 2$。求 $a_n$ 的通项公式。

（22 分）求最小正整数 $n$，使得 $n^2+n+24$ 可被 $2010$ 整除。

（22 分）已知 $△ABC$ 的三边长度各不相等，$D,E,F$ 分别是 $\angle A,\angle B,\angle C$ 的角平分线与边 $BC,CA,AB$ 的垂直平分线的交点。求证：$△ABC$ 的面积小于 $△DEF$ 的面积。

（22 分）桌上放有 $n$ 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴。甲先取，第一次可取走至多 $n-1$ 根火柴。此后每人每次至少取走一根火柴，但是不超过对方刚才取走火柴数目的两倍。取得最后一根火柴者获胜。问：当 $n=100$ 时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由。