2011 年湖北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知 $P$ 是 $△ A BC$ 所在平面上一点，满足

P A + PB + 2 PC = 3 A B,

则 $△ A BP$ 与 $△ A BC$ 的面积之比为。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 1$ ，且

a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} (n \in N^{*}),

则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2011} =$ 。

已知 $α \in R$ ，如果

{sin α, cos 2 α} = {cos α, sin 2 α},

则所有符合要求的角 $α$ 构成的集合为

。

满足方程

x^{2} + 8 x sin (x y) + 16 = 0 (x \in R, y \in [0, 2 π))

的实数对 $(x, y)$ 的个数为。

设 $z$ 是模为 $2$ 的复数，则

z - \frac{1}{z}

的最大值与最小值的和为。

对一切满足 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1$ 的实数 $x, y$ ，不等式

2 x - 3 y + \frac{3}{2} + ∣ y - 1∣ + ∣2 y - x - 3∣ \leq a

恒成立，则实数 $a$ 的最小值为。

设集合 $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ 。如果方程

x^{2} - m x - n = 0 (m, n \in A)

至少有一个根 $x_{0} \in A$ ，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为。

已知关于 $x$ 的方程

∣ x - k ∣ = \frac{2}{2} k x

在区间 $[k - 1, k + 1]$ 上有两个不相等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是。

已知二次函数 $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(1, 13)$ ，且函数

y = f (x - \frac{1}{2})

是偶函数。

(1)
求 $f (x)$ 的解析式；
(2)
函数 $y = f (x)$ 的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = \frac{1}{3}, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{a _{n}^{2}}{n ^{2}} (n \in N^{*}) 。

证明：对一切 $n \in N^{*}$ ，有

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{2} = 1,

过点 $P (\frac{2}{3}, - \frac{1}{3})$ 而不过点 $Q (2, 1)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点。