2011 年湖北预赛 · 第 4 题

解答

先将二次式配成两个非负平方之和。将方程等价改写为

两个非负项同时为零，故 $\cos (xy)=0$，$x=-4\sin (xy)$，从而 $x=\pm 4$。 若 $x=4$，条件为 $\sin 4y=-1$；若 $x=-4$，条件为 $\sin (-4y)=1$，仍等价于 $\sin 4y=-1$。 在 $y\in [0,2\pi )$ 内，这个方程的全部解为

每个值均可分别配 $x=4,-4$，代回两个平方项都为零。四个 $y$ 均在原半开区间内且互异， 两端点没有遗漏，故实数对总数为 $\boxed{8}$。