2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

设复数 $z=9+10\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），若正整数 $n$ 满足 $|z^n|\le 2023$，则 $n$ 的最大值为。

若正实数 $a,b$ 满足 $a^{\lg b}=2$，$a^{\lg a}\cdot b^{\lg b}=5$，则 $(ab{)}^{\lg (ab)}$ 的值为。

将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为 $x,y,z$，则事件“${\mathrm{C}}_7^x<{\mathrm{C}}_7^y<{\mathrm{C}}_7^z$”发生的概率为。

若平面上非零向量 $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ 满足 $\vec{\alpha }\perp \vec{\beta }$，$\vec{\beta }\cdot \vec{\gamma }=2|\vec{\alpha }|$，$\vec{\gamma }\cdot \vec{\alpha }=3|\vec{\beta }|$，则 $|\vec{\gamma }|$ 的最小值为。

方程 $\sin x=\cos 2x$ 的最小的 $20$ 个正实数解之和为。

设 $a,b,c$ 为正数，$a<b$。若 $a,b$ 为一元二次方程 $a{x}^2-bx+c=0$ 的两个根，且 $a,b,c$ 是一个三角形的三边长，则 $a+b-c$ 的取值范围是。

平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴均相切，圆心在椭圆

内，且 $\Omega$ 与 $\Gamma$ 有唯一的公共点 $(8,9)$。则 $\Gamma$ 的焦距为。

八张标有 $A,B,C,D,E,F,G,H$ 的正方形卡片构成下图。现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按 $D,A,B,E,C,F,G,H$ 的次序取走卡片，但不可按 $D,B,A,E,C,F,G,H$ 的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为。

（本题满分 $16$ 分）平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $\Gamma :y^2=4x$，$F$ 为 $\Gamma$ 的焦点，$A,B$ 为 $\Gamma$ 上的两个不重合的动点，使得线段 $AB$ 的一个三等分点 $P$ 位于线段 $OF$ 上（含端点），记 $Q$ 为线段 $AB$ 的另一个三等分点。求点 $Q$ 的轨迹方程。

（本题满分 $20$ 分）已知三棱柱 $\Omega :ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的 $9$ 条棱长均相等。记底面 $ABC$ 所在平面为 $\alpha$。若 $\Omega$ 的另外四个面（即面 $A_1{B}_1{C}_1,AB{B}_1{A}_1,AC{C}_1{A}_1,BC{C}_1{B}_1$）在 $\alpha$ 上投影的面积从小到大重排后依次为 $2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3},5\sqrt{3}$，求 $\Omega$ 的体积。

（本题满分 $20$ 分）求出所有满足下面要求的不小于 $1$ 的实数 $t$：对任意 $a,b\in [-1,t]$，总存在 $c,d\in [-1,t]$，使得 $(a+c)(b+d)=1$。