2012 年陕西预赛

已知集合 $M=\{1,3,5,7,9\}$。若非空集合 $A$ 满足：$A$ 中各元素都加 $4$ 后构成 $M$ 的一个子集，$A$ 中各元素都减 $4$ 后也构成 $M$ 的一个子集，则 $A=\underline{}$。

已知两条直线 $l_1:y=2$，$l_2:y=4$。设函数 $y=3^x$ 的图象与 $l_1,l_2$ 分别交于点 $A,B$，函数 $y=5^x$ 的图象与 $l_1,l_2$ 分别交于点 $C,D$，则直线 $AB$ 与 $CD$ 的交点坐标是 $\underline{}$。

对于正整数 $n$，若 $n=pq$（$p\ge q$，$p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），当 $p-q$ 最小时，我们称 $pq$ 为 $n$ 的“最佳分解”，并规定 $f(n)=\frac{q}{p}$。例如，$12$ 的分解有 $12\times 1,6\times 2,4\times 3$，其中 $4\times 3$ 为 $12$ 的最佳分解，则 $f(12)=\frac{3}{4}$。关于 $f(n)$，有下列四个判断：

其中，所有正确判断的序号是。

已知 $△ABC$ 为等腰直角三角形，$\angle A=90^{\circ }$，且 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$。若 $\mathbf{a}=(\cos \theta ,\sin \theta )$（$\theta \in \mathbb{R}$），则 $△ABC$ 的面积等于 $\underline{}$。

在正四面体 $ABCD$ 中，$AO\perp$ 平面 $BCD$，垂足为 $O$。设 $M$ 是线段 $AO$ 上一点，且满足 $\angle BMC=90^{\circ }$，则 $\frac{AM}{MO}=\underline{}$。

如图，直角三角形 $△ABC$ 的三个顶点都在给定的抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）上，且斜边 $AB\Vert x$ 轴，则斜边上的高 $|CD|=\underline{}$。

某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概率是以 $a$ 为首项、$2$ 为公比的等比数列，相应获得的奖金是以 $700$ 元为首项、$-140$ 为公差的等差数列。则参与这项游戏活动获得奖金的期望是 $\underline{}\text{元}$。

设 $p,q$ 是两个不同的质数，则 $p^{q-1}+q^{p-1}$ 被 $pq$ 除的余数是 $\underline{}$。

定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$，且对任意的 $x\in \mathbb{R}$，都有 $f^{\prime }(x)<\frac{1}{2}$。则不等式 $f({\log }_{2}x)>\frac{{\log }_{2}x+1}{2}$ 的解集为 $\underline{}$。

从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到 $500\mathrm{m}$ 以外的公路边埋栽，在 $500\mathrm{m}$ 处栽一根，然后每间隔 $50\mathrm{m}$ 在公路边栽一根。已知运输车辆一次最多只能运 $3$ 根，要完成运栽 $20$ 根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为 $\underline{}\mathrm{m}$。