2026 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

设平面向量 $\vec{x},\vec{y}$ 满足 $\vec{x}-\vec{y}=(2,0)$，$\vec{x}+\vec{y}=(2,6)$，则 $\frac{|\vec{x}|}{\vec{x}\cdot \vec{y}}=\underline{}$。

设实数 $x$ 满足 $3\cdot 4^x=2^{x+3}+3$，则 $x=\underline{}$。

对于 $k=0,1,2,\dots$，定义集合 $A_k=\{9+k,13+2k\}$，并记 $S_k=A_0\cup A_1\cup \cdots \cup A_k$，则使得 $S_n$ 中恰有 $3$ 个完全平方数的最小正整数 $n=\underline{}$。

函数 $f(x)={\log }_2(1-x)-{\log }_2(1-x^2)$ 的值域为 $\underline{}$。

在 $△ABC$ 中，已知 $\tan A:\tan B:\tan C=2:3:5$，则 $\sin A=\underline{}$。

在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 经过两点 $P(1,0),Q(7,12)$，两条（不重合的）平行直线 $l_1,l_2$ 分别经过 $P,Q$，且 $\Gamma$ 的右焦点 $F$ 到直线 $l_1$ 的距离等于 $F$ 到直线 $l_2$ 的距离，则 $l_1$ 的斜率为 $\underline{}$。

在由 $100$ 个数对构成的集合 $\{(x,y)\mid x,y\text{为不超过 }10\text{ 的正整数}\}$ 中随机选取一个数对 $(x,y)$，则以 $x$ 为首项、$y$ 为第 $2$ 项的无穷等差数列中有一项等于 $10\times 9\times 8\times 7\times \cdots \times 1$ 的概率为 $\underline{}$。

在一个底面半径为 $1$，高为 $4$ 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内部有两个半径为 $1$ 的铁球。设容器内还有一个小铜球与容器的内表面及上述两个铁球都相切，则该小铜球的体积为 $\underline{}$。

（本题满分 $20$ 分）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A$ 为抛物线 $\Gamma :y^2=x$ 上的动点，且 $A$ 的纵坐标大于 $2$，点 $B$ 为 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点，点 $P$ 在线段 $AB$ 上，点 $Q$ 在 $\Gamma$ 上，满足 $PQ\perp AB$ 且 $|PQ|=|AB|$。求直线 $OP$ 的斜率 $k$ 的最大值，并确定当 $k$ 取到最大值时 $△ABQ$ 的面积。

（本题满分 $20$ 分）给定整数 $q(|q|\ge 2)$。求最小的正整数 $m$（用 $q$ 表示），使得存在满足下述条件 (i) 和 (ii) 的实数列 $a_1,a_2,\dots ,a_m$：

(i) 对任意 $k=1,2,\dots ,m-1$，都有 $|a_{k+1}-a_k|=1$；

(ii) 存在正整数 $i_1,i_2,\dots ,i_{10}(i_1<i_2<\cdots <i_{10}\le m)$，使得 $a_{i_1},a_{i_2},\dots ,a_{i_{10}}$ 成公比为 $q$ 的等比数列。