培玉 · 一试

2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

复数 $z = 1 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z + 2 \overline{z} + 3∣ z ∣$ 的模为。

第 2 题

设 $a, b$ 为实数。若一元二次不等式 $x^{2} + b < a x$ 的解集为 $(1, 5)$ ，则一元二次不等式 $x^{2} - a > b x$ 的解集为。

第 3 题

函数 $y = \frac{4 ^{x} + 1}{2 ^{x} + 1}$ 的最小值为。

第 4 题

一只青蛙在正方形 $A BC D$ 的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的。若青蛙第一次跳跃前位于顶点 $A$ ，则它第 $6$ 次跳跃后恰好仍位于顶点 $A$ 的概率为。

第 5 题

在椭圆 $Ω$ 中， $F_{1}, F_{2}$ 为焦点， $A$ 为长轴的一个端点， $B$ 为短轴的一个端点。若 $∠ F_{1} B F_{2} = ∠ F_{1} A B$ ，则 $Ω$ 的离心率为。

第 6 题

数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有 $a_{n + 1} = 1 0^{n} a_{n}^{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为。

第 7 题

四面体 $A BC D$ 中， $A B ⊥ BC$ ， $BC ⊥ C D$ ，且 $A B, BC, C D, D A$ 的长分别为 $1, 2, 3, 4$ ，则四面体 $A BC D$ 的体积为。

第 8 题

若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 $8$ ，且组成 $a, b, c$ 的 $8$ 个数码能排列为 $2, 0, 2, 4, 0, 9, 0, 8$ ，则称 $(a, b, c)$ 为“幸运数组”，例如 $(9, 8, 202400)$ 是一个幸运数组。满足 $10 < a < b < 100$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为。

第 9 题

设无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q$ 满足 $0 < ∣ q ∣ < 1$ 。若 ${a_{n}}$ 的各项和等于 ${a_{n}}$ 各项的平方和，求 $a_{2}$ 的取值范围。

第 10 题

在 $△ A BC$ 中，已知 $cos C = \frac{sin A + cos A}{2} = \frac{sin B + cos B}{2}$ ，求 $sin C$ 的值。

第 11 题

在平面直角坐标系中，将圆心在 $y$ 轴上，且与双曲线 $Γ : x^{2} - y^{2} = 1$ 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”。是否存在常数 $λ$ 及 $x$ 轴上的一个定点 $A$ ，满足：若两个好圆外切于点 $P$ ，则它们的圆心距 $d = λ ∣ P A ∣$ ？证明你的结论。