培玉 · 一试

2026 年新疆预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 10/11 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

设集合

A = {1, 2, 3, \dots, 2026}, B = {a^{2} + 3^{a} ∣ a \in A},

则 $A \cup B$ 的元素个数为。

第 2 题

设复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ ，且关于 $x$ 的方程

3 x^{2} + 3 \overline{z} x + z = 0

有实根，则所有这样的 $z$ 的和为。

第 3 题

求

sin^{2} 2 0^{\circ} + cos^{2} 5 0^{\circ} + 2 sin 2 0^{\circ} sin 3 0^{\circ} sin 4 0^{\circ}

的值。

第 4 题

已知 $O$ 为坐标原点，曲线

C_{1} : x^{2} - y^{2} = 2

与曲线

C_{2} : y^{2} = 2 p x

交于点 $M, N$ 。若 $△ OMN$ 的外接圆经过点 $P (3, 0)$ ，则曲线 $C_{2}$ 的方程为。

第 5 题

已知 $m, n$ 为非零向量，且

∣ m ∣ = ∣ m + n ∣ = 1,

则

∣3 m + n ∣ + ∣ n ∣

的最大值为。

第 6 题

已知四面体 $P - A BC$ ，点 $A_{1}$ 在 $△ PBC$ 内，满足

[△ A_{1} PB] : [△ A_{1} PC] : [△ A_{1} BC] = 5 : 3 : 2.

点 $G$ 在线段 $A A_{1}$ 上，直线 $PG$ 交平面 $A BC$ 于点 $M$ ，且

\frac{A G}{G A _{1}} = \frac{PG}{GM} .

则四面体 $P - A BC$ 与 $A_{1} - A BM$ 的体积之比为。

第 7 题

已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 2, a_{n + 1}^{2} = 2 a_{n}^{2} + a_{n} a_{n + 1} .

令

b_{n} = \frac{n + 2}{n ( n + 1 ) a _{n}},

数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ 。

第 8 题

在方程

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 30

的非负整数解 $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 中，满足

x_{1} \leq 12, x_{2} \leq 13, x_{3} \leq 14

的解的个数为。

第 9 题

已知函数

f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)

有两个不同的零点。

（1）若函数 $g (x) = (x - 1) f (x)$ 是奇函数，求

\frac{f ( 1 ) f ( 3 ) \dots f ( 199 )}{f ( 2 ) f ( 4 ) \dots f ( 200 )}

的值；

（2）若方程

f (x^{2} + 4 x + 1) = 0

有四个不同的实根 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 成等差数列，求 $a - b$ 的最大值。

第 10 题

本题整理中，不计分。

第 11 题

（1）已知 $a_{i} \geq 0 (i = 1, 2, 3)$ ，求证：

a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{1} \leq \frac{1}{3} (a_{1} + a_{2} + a_{3})^{2} .

（2）已知 $n \geq 2$ ， $n \in N_{+}$ ，且

i = 1 \sum n a_{i} = 2 n, a_{i} \geq 0 (i = 1, 2, \dots, n),

求

i = 1 \sum n - 1 (a_{i} - 1) (a_{i + 1} - 1)

的最小值和最大值。