培玉 · 一试

2016 年全国高中数学联赛一试

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

设实数 $a$ 满足 $a < 9 a^{3} - 11 a < ∣ a ∣$ ，则 $a$ 的取值范围是。

第 2 题

设复数 $z, w$ 满足

∣ z ∣ = 3, (z + \overline{w}) (\overline{z} - w) = 7 + 4 i,

其中 $i$ 是虚数单位， $\overline{z}, \overline{w}$ 分别表示 $z, w$ 的共轭复数，则 $(z + 2 \overline{w}) (\overline{z} - 2 w)$ 的模为。

第 3 题

正实数 $u, v, w$ 均不等于 $1$ ，若

lo g_{u} (v w) + lo g_{v} w = 5, lo g_{v} u + lo g_{w} v = 3,

则 $lo g_{w} u$ 的值为。

第 4 题

袋子 $A$ 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子 $B$ 中装有4张5元纸币和3张1元纸币。现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 $A$ 中剩下的纸币面值之和大于 $B$ 中剩下的纸币面值之和的概率为。

第 5 题

设 $P$ 为一圆锥的顶点， $A, B, C$ 是其底面圆上的三点，满足 $∠ A BC = 9 0^{\circ}$ ， $M$ 为 $A P$ 的中点。若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $A P = 2$ ，则二面角 $M - BC - A$ 的大小为。

第 6 题

设函数

f (x) = (sin \frac{k x}{10})^{4} + (cos \frac{k x}{10})^{4},

其中 $k$ 是一个正整数。若对任意实数 $a$ ，均有

{f (x) ∣ a < x < a + 1} = {f (x) ∣ x \in R},

则 $k$ 的最小值为。

第 7 题

双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - \frac{y ^{2}}{3} = 1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 。过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于点 $P, Q$ ，使得 $∠ F_{1} PQ = 9 0^{\circ}$ ，则 $△ F_{1} PQ$ 的内切圆半径是。

第 8 题

设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是 $1, 2, \dots, 100$ 中的 $4$ 个互不相同的数，满足

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) = (a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4})^{2},

则这样的有序数组 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})$ 的个数为。

第 9 题

在 $△ A BC$ 中，已知

A B \cdot A C + 2 B A \cdot BC = 3 C A \cdot CB .

求 $sin C$ 的最大值。

第 10 题

已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数， $f (1) = 1$ ，且对任意 $x < 0$ ，均有

f (\frac{x}{x - 1}) = x f (x) .

求

f (1) f (\frac{1}{100}) + f (\frac{1}{2}) f (\frac{1}{99}) + f (\frac{1}{3}) f (\frac{1}{98}) + \dots + f (\frac{1}{50}) f (\frac{1}{51})

的值。

第 11 题

如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 是 $x$ 轴正半轴上的一个动点。以 $F$ 为焦点、 $O$ 为顶点作抛物线 $C$ 。设 $P$ 是第一象限内 $C$ 上的一点， $Q$ 是 $x$ 轴负半轴上一点，使得 $PQ$ 为 $C$ 的切线，且 $∣ PQ ∣ = 2$ 。圆 $C_{1}, C_{2}$ 均与直线 $OP$ 相切于点 $P$ ，且均与 $x$ 轴相切。求点 $F$ 的坐标，使圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的面积之和取得最小值。