培玉 · 一试

2025 年重庆预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设集合

A = {1, 2, 3, \dots, 2025}, B = {3 x ∣ x \in A}, C = {x ∣ 3 x \in A},

则 $B \cap C$ 的元素个数为。

第 2 题

四面体 $A BC D$ 满足

A B ⊥ BC, BC ⊥ C D, C D ⊥ A B,

且 $A B = BC = C D = 1$ 。设 $A B, BC, C D$ 的中点分别为 $L, M, N$ ，则点 $M$ 到直线 $L N$ 的距离为。

第 3 题

从面积为 $1$ 的正六边形的 $6$ 个顶点中随机选 $3$ 个不同的点，它们构成的三角形的面积大于 $\frac{1}{4}$ 的概率为。

第 4 题

已知双曲线

E : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $A, B$ 分别是 $E$ 的左支和右支上的点。若 $F_{1}, A, B$ 三点共线，且 $∠ A F_{1} F_{2} = 3 0^{\circ}$ ， $∣ F_{2} A ∣ = ∣ F_{2} B ∣$ ，则双曲线的离心率 $e =$ 。

第 5 题

在 $△ A BC$ 中，

\frac{2 sin ^{2} A + sin B sin C}{sin A sin B sin C}

的最小值为。

第 6 题

若实数 $m, n$ 使得关于 $x$ 的方程

x^{3} + m x + n = 0

有模为 $3$ 的虚根，则 $m + n$ 的取值范围为。

第 7 题

设函数

f (x) = x sin (2 π ln x) .

$f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 、 $[1, 2]$ 、 $[2, 3]$ 上的最大值分别为 $a, b, c$ ，则 $\frac{b c}{a} =$ 。

第 8 题

可以使用字符 $1, 2, 3, a, b, c, A, B, C$ 组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻。例如密码可以设置为 $123 a A$ 或 $1 a A 12$ ，但不能设置为 $123 ab$ 或 $112 a A$ 。则可以设置的不同密码个数为。

第 9 题

已知函数

f (x) = {2^{x}, lo g_{2} x + 1, x \leq 0, x > 0.

设 $a, b, c$ 是三个不同的实数，满足

f (f (a)) = f (f (b)) = f (f (c)),

求 $a + b + c$ 的取值范围。

第 10 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} (n \in N^{*}),

数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ ，且 $b_{i} \in {a_{i}, - a_{i}}$ （ $i \geq 2$ ）。记 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和。

（1）若

S_{4 n} = \frac{1}{5} (1 - \frac{1}{2 ^{4 n}}),

求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（2）对于给定的 $n \in N^{*}$ ，求 $S_{n}$ 能取到的所有值。

第 11 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)

的右焦点为 $F$ 。已知椭圆上有三个点 $A, B, C$ ，满足四边形 $O A CB$ 为平行四边形， $C$ 关于 $O$ 的对称点为 $D$ 。若 $A, B, C, D$ 四点共圆，且直线 $A B$ 过 $F$ ，求实数 $a$ 的值。