2018 年中科大少年班初试

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练习时长（分钟）

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第 1 题

$(3 i - 1)^{2018} =$ 。

已知 $sin 2 α = 3/5$ ，则 $\frac{tan ( α + 1 5 ^{\circ} )}{tan ( α - 1 5 ^{\circ} )} =$ 。

设 $x > - 1/2$ ，则 $f (x) = x^{2} + x + \frac{4}{2 x + 1}$ 的最小值为。

本题整理中，不计分。

设 $α$ 为复数， $i$ 为虚数单位。若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + αx + i = 0$ 有实根，则 $∣ α ∣$ 的取值范围为。

已知定义在 $[0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 是单射。对任意 $x > 0$ ，都有 $x f (x) > 1$ 、 $f (x f (x) - 1) = 2$ ，则 $f (2) =$ 。

在四面体 $A BC D$ 中， $△ A BC$ 是斜边为 $A B = 2$ 的等腰直角三角形， $△ A B D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形，且 $C D = 6$ 。点 $P, Q$ 分别在线段 $A B, C D$ 上，则 $∣ PQ ∣$ 的最小值为。

点 $P$ 在圆 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 上运动。向量 $PO$ （其中 $O$ 为原点）绕点 $P$ 逆时针旋转 $9 0^{\circ}$ 得到 $PQ$ ，则点 $Q$ 的轨迹方程为。

过点 $(- 1, 0)$ 的直线 $m$ 与抛物线 $y = x^{2}$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $△ A OB$ 的面积为3（其中 $O$ 为原点），求直线 $m$ 的方程。

求所有的二次实系数多项式 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 满足 $f (x) ∣ f (x^{2})$ 。

设 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n})^{3} (n + a_{n})$ 。求证：