培玉 · 一试

2023 年江西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

用 $12$ 种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的 $4$ 种不同的动物图案，且制作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为。

第 2 题

已知点 $A (1, 3), B (5, 4), C (3, 7), D (7, 1), E (10, 2), F (8, 6)$ ，若直线 $l$ 与 $△ A BC$ 内（包括边界）点的最短距离等于直线 $l$ 与 $△ D EF$ 内（包括边界）点的最短距离，则直线 $l$ 的方程为。

第 3 题

函数 $f (x) = (x + 1) ln (x + 1)$ 的单调递增区间是。

第 4 题

已知关于 $x$ 的方程

∣ (x - 1) (x - 3) ∣ = m x

有四个不同的实根，则 $m$ 的取值范围是。

第 5 题

边长为 $1$ 的正六面体被一个平面所截出的六边形的最大面积为。

第 6 题

若锐角 $A, B, C$ 满足

sin^{2} A + sin^{2} B + sin^{2} C = 2,

则

\frac{1}{sin ^{2} A cos ^{4} B} + \frac{1}{sin ^{2} B cos ^{4} C} + \frac{1}{sin ^{2} C cos ^{4} A}

的最小值是。

第 7 题

设 $A, B$ 为双曲线

W : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

与实轴的交点， $P (0, 1)$ 为双曲线外一点， $P A, PB$ 分别交双曲线于另一点 $C, D$ ，过 $C, D$ 的切线相交于 $Q$ 。若 $△ QC D$ 是一个正三角形，且面积为 $163 /27$ ，则双曲线 $W$ 的方程为。

第 8 题

有 $8$ 块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或者北京。从 $8$ 块不同的积木中按顺序任取 $n$ 块积木（ $2 \leq n \leq 8$ ）， $D_{n}$ 表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则 $max_{2 \leq n \leq 8} D_{n} =$ 。

第 9 题

设 $a \geq c, b \geq c, c > 0$ 。求证：

c (a - c) + c (b - c) \leq ab,

并确定等号成立的条件。

第 10 题

设正项数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{n} (a_{n} - a_{n - 1}) = \frac{1}{n} (\frac{1}{n} + a_{n - 1}), a_{1} = 1.

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）求证：对任意互不相同的正整数 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ，都有

a_{n} \leq b_{1} + \frac{b _{2}}{2} + \frac{b _{3}}{3} + \dots + \frac{b _{n}}{n} .

第 11 题

过平行四边形 $A BC D$ 的顶点 $A, B, D$ 作一圆，交直线 $A C$ 于另一点 $E$ 。求证：

A B^{2} + A D^{2} = A C \cdot A E .

第 12 题

如果直角三角形的三边是两两互素的正整数，则称这种直角三角形为本原直角三角形。

（1）求本原直角三角形中面积恰好等于周长 $n$ 倍的本原直角三角形的个数，并记为 $a_{n}$ ；

（2）求 $max_{1 \leq n \leq 2023} a_{n}$ ，并列出所有面积恰好等于周长的 $2023$ 倍的本原直角三角形。