2015 年中科大少年班初试

函数$f(x)=\frac{1+x}{1+|x|}$的值域是。

若$\sin \alpha +\sin \beta =\frac{1}{2}$、$\cos \alpha +\cos \beta =\frac{1}{3}$，则$\cos (\alpha -\beta )=$。

若函数$y=f(x)$与$y=e^x$的图像关于直线$y=-x$对称，则$f(x)=$。

在直角坐标系中，设$O$是坐标原点，定点$P(1,2)$，动点$Q(x,y)$满足$x\le 0$、$1-x\le y\le x+3$。则$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$的最大值为。

若椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的一条切线$l$与$x$轴交于点$(5,0)$，则$l$与两坐标轴所围成的三角形面积是。

设三个整数$a<b<c$满足$a+b+c=27$、$abc=200$，则$c=$。

${\left(1-\frac{1}{x}+x\right)}^9$的展开式中$x^5$的系数为。

从集合$\{1,2,3,\dots ,20\}$中随机取4个不同的数，并从小到大排列，则它们构成等差数列的概率是。

如图所示，为测量远处一座山峰相对于水平地面的高度$h$，测量者选取了水平地面上三点$A,B,C$， 分别测量了直线$PA,PB,PC$与水平面的夹角为${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$，其中$P$是山峰的顶点。 已知$B$是$AC$的中点，$AB=a$，则$h=$（用${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$表示）。

上图为按题意绘制的一般位置示意图。

1. (i)

   求$f(x)=\frac{\ln x}{x}$的单调区间和最大值；

2. (ii)

   设$0<x<y$，且$x^y=y^x$，求证$x+y>2e$。