2014 年山西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

将正整数数列 $1, 2, 3, \dots$ 按如下方式自左至右分段，使得第一段有 $1 \times 2$ 个数，第二段有 $2 \times 3$ 个数，…，第 $n$ 段有 $n \times (n + 1)$ 个数，…，则 $2014$ 位于第段。

直角四面体 $A BC D$ 中，六条棱长的和为 $6$ ，则其体积的最大值为。

若 $△ O A B$ 的垂心恰是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，其中 $O$ 是原点， $A, B$ 在抛物线上，则 $△ O A B$ 的面积 $S =$ 。

设 $sin α - cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $sin 3 α + cos 3 α =$ 。

设对一切实数 $x$ ，函数 $f (x)$ 满足 $x f (x) = 2 f (1 - x) + 1$ ，则 $f (5) =$ 。

将 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 分别填写于一张 $3 \times 3$ 的表格中，使得表中每一行及每一列的三个数之和皆是质数，你的填法是：

设对每个正整数 $n \leq m$ ，皆有

\frac{2 n + 1}{3 n + 8} < \frac{5 - 1}{2} < \frac{n + 7}{2 n + 1},

则正整数 $m =$ 。

若 $n$ 个连续正整数之和等于 $2014$ ，则 $n$ 的最大值是。

如图， $△ A BC$ 的内切圆切 $BC$ 边于 $D$ ，点 $E, F$ 分别是 $△ A B D$ 、 $△ A C D$ 的内心。证明： $EF ⊥ A D$ 。

数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足条件

a_{1} = b_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + b_{n};

证明：对每个正整数 $n$ ，下式成立：

如图， $A, B$ 是椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的长轴端点， $P$ 是椭圆上异于 $A, B$ 的点。自 $A, B$ 分别作 $ℓ_{1} ⊥ P A$ ， $ℓ_{2} ⊥ PB$ ， $ℓ_{1}, ℓ_{2}$ 相交于点 $M$ 。当动点 $P$ 在椭圆上移动时，求点 $M$ 的轨迹方程。