培玉 · 一试

2011 年陕西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知集合 $M = {2, 0, 11}$ ，若 $A ⊊ M$ ，且 $A$ 的元素中至少含有一个偶数，则满足条件的集合 $A$ 的个数为。

第 2 题

设 $a, b$ 都是正实数， $A = \frac{a + b}{2}$ ， $B = \frac{2}{1/ a + 1/ b}$ 。若 $A + B = a - b$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为。

第 3 题

满足 $\frac{1 - sin θ + cos θ}{1 - sin θ - cos θ} + \frac{1 - sin θ - cos θ}{1 - sin θ + cos θ} = 2$ 的最大负角 $θ$ 的弧度数为。

第 4 题

设斜率为 $\frac{2}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于不同的两点 $P, Q$ 。若点 $P, Q$ 在 $x$ 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率是。

第 5 题

如图所示的数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列。若 $a_{22} = 2$ ，则所有这 $9$ 个数的和等于。

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} .

第 6 题

如图，矩形 $O A BC$ 的四个顶点的坐标依次为 $(0, 0), (2 π, 0), (2 π, 2), (0, 2)$ ，以 $BC$ 边与函数 $y = 1 + cos x (0 \leq x \leq 2 π)$ 的图象所围成的区域（图中阴影部分）为 $Ω$ 。若向矩形 $O A BC$ 内任意投掷点 $M$ ，则点 $M$ 落在区域 $Ω$ 内的概率是。

第 7 题

设函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{p}, 0, x = \frac{q}{p}, x \neq = \frac{q}{p},

其中 $p, q$ 互质且 $p \geq 2$ 。则满足 $x \in [0, 1]$ ，且 $f (x) > \frac{1}{5}$ 的 $x$ 值的个数是。

第 8 题

已知 $p, q$ 都是质数（素数），且 $7 p + q$ 和 $2 q + 11$ 也都是质数，则 $p^{q} + q^{p}$ 的值是。

第 9 题

在侧棱长和底面边长都是 $4$ 的正四棱锥 $P$ - $A BC D$ 的表面上，与顶点 $P$ 的距离为 $3$ 的动点所形成的所有曲线段的长度之和为。

第 10 题

现代社会对破译密码的要求越来越高。在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码将英文的 $26$ 个字母 $a, b, c, \dots, z$ （不论大小写）依次对应 $1, 2, 3, \dots, 26$ 这 $26$ 个自然数，见下表：

a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 h 8 i 9 j 10 k 11 l 12 m 13 n 14 o 15 p 16 q 17 r 18 s 19 t 20 u 21 v 22 w 23 x 24 y 25 z 26

给出明码对应的序号 $x$ 和密码对应的序号 $y$ 的变换公式：

y = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 1}{2}, \frac{x}{2} + 13, x 为奇数，且 1 \leq x \leq 26, x 为偶数，且 1 \leq x \leq 26.

利用它可将明码转换成密码，如 $5 \mapsto \frac{5 + 1}{2} = 3$ ，即 $e$ 变成 $c$ ； $8 \mapsto \frac{8}{2} + 13 = 17$ ，即 $h$ 变成 $q$ 。按上述公式，若将某明码译成的密码是 $s h x c$ ，那么，原来的明码是。