2022 年新疆预赛

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第 1 题

设集合

{\frac{3}{a} + b 1 \leq a \leq b \leq 4}

中的最大元素与最小元素分别为 $M, N$ ，则 $M - N =$ 。

已知

f (x) = 2^{x} + ln (x^{2} + 1 + x) - 2^{- x} + 1011,

则不等式 $f (2 x + 1) + f (x) > 2022$ 的解集为。

甲、乙、丙三人从 $1$ 楼乘电梯去商场的 $3$ 到 $7$ 楼，每层楼最多下 $2$ 人，则下电梯的方法有种。

设 $z$ 为复数，若方程

∣ z^{2} ∣ - ∣ z^{2} - 9∣ = 7

表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率 $e =$ 。

已知椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在直线

l : x + 23 y - 43 = 0

上。当 $∠ F_{1} P F_{2}$ 取最大值时， $∣ P F_{1} ∣/∣ P F_{2} ∣$ 的值为。

设 $m, n \in N$ ，且 $m, n \geq 2$ 。若

\frac{2 ^{3} - 1}{2 ^{3} + 1} \cdot \frac{3 ^{3} - 1}{3 ^{3} + 1} \dots \frac{n ^{3} - 1}{n ^{3} + 1} = \frac{m ^{3} - 1}{m ^{3} + 2},

则 $m^{2} + n^{2}$ 的值为。

已知二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $6 0^{\circ}$ ， $A, D$ 为直线 $l$ 上的两点，射线 $D B$ 在平面 $α$ 内，射线 $D C$ 在平面 $β$ 内。已知

∠ B D A = 4 5^{\circ}, ∠ C D A = 3 0^{\circ},

则 $cos ∠ B D C =$ 。

设 $a, b$ 都是正整数，且

a - b 3 = (2 - 3)^{100},

则 $ab$ 的个位数字是。

直角三角形 $D EF$ 的三个顶点分别在等边三角形 $A BC$ 的边 $A B, BC, C A$ 上，且

∠ D EF = 9 0^{\circ}, ∠ E D F = 3 0^{\circ} .

求 $S_{△ D EF} / S_{△ A BC}$ 的最小值。

已知 $△ A BC$ 内接于抛物线

E : x^{2} = y,

且边 $A B, A C$ 所在直线都与抛物线

M : y^{2} = 4 x

相切， $F$ 为抛物线 $M$ 的焦点。证明：

（1）边 $BC$ 所在直线与抛物线 $M$ 相切；

（2） $A, C, B, F$ 四点共圆。

（1）若实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ，求证

∣ x - y ∣ + ∣ y - z ∣ + ∣ z - x ∣ \leq 22;

（2）若 $2023$ 个实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2023}$ 满足

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{2023}^{2} = 1,

求

∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ x_{2} - x_{3} ∣ + \dots + ∣ x_{2022} - x_{2023} ∣ + ∣ x_{2023} - x_{1} ∣

的最大值。