培玉 · 一试

2010 年山西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

十二个互不相同的正整数之和为 $2010$ ，则这些正整数的最大公约数的最大值是。

第 2 题

函数 $f (x) = a x^{2} - 2$ ，若 $f (f (2)) = - 2$ ，则 $a =$ 。

第 3 题

设 $a_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n \cdot (n + 1)$ ，则 $⌊ \frac{2 a _{n}}{n} ⌋ =$ 。

第 4 题

设 $A (0, b)$ 是椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴端点， $B$ 是椭圆上的一点， $C (0, - 1)$ 是点 $B$ 在 $y$ 轴上的投影。若 $A B = 32$ ， $A C = BC$ ，则椭圆焦距为。

第 5 题

若 $x \in [0, π]$ ，则函数 $y = \frac{sin x cos x}{1 + sin x + cos x}$ 的值域是。

第 6 题

正四棱锥的侧棱长为 $1$ ，则其体积的最大值为。

第 7 题

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = - n^{2}$ ，则 $a_{15} =$ 。

第 8 题

如果四位数 $n$ 的四个数位中至多含有两个不同的数码，则称 $n$ 为“简单四位数”；例如 $5555$ 和 $3313$ 等等，那么，简单四位数的个数是。

第 9 题

$M$ 是正三角形 $A_{1} A_{2} A_{3}$ 的中心， $N$ 是其所在平面上的任意一点。以 $MN$ 为直径的圆分别交直线 $M A_{i}$ 于 $B_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）。证明：

M B_{1}^{2} + M B_{2}^{2} + M B_{3}^{2} = N B_{1}^{2} + N B_{2}^{2} + N B_{3}^{2} .

第 10 题

设 $x_{i} \geq 0$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，约定 $x_{n + 1} = x_{1}$ ，证明：

k = 1 \sum n \frac{1}{( x _{k} + 1 ) ^{2}} + \frac{x _{k + 1}^{2}}{( x _{k + 1} + 1 ) ^{2}} \geq \frac{n}{2} .

第 11 题

一次足球邀请赛共安排了 $n$ 支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是 $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}$ 。如果任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称 $(m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n})$ 是一个有效安排。证明：如果 $(m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n})$ 是一个有效安排，且

m_{1} \geq m_{2} \geq \dots \geq m_{n},

则可去掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使得

(m_{2} - 1, m_{3} - 1, \dots, m_{m_{1} + 1} - 1, m_{m_{1} + 2}, \dots, m_{n})

也是一个有效安排。