培玉 · 一试

2019 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

已知正实数 $a$ 满足 $a^{a} = (9 a)^{8 a}$ ，求 $lo g_{a} (3 a)$ 的值。

第 2 题

若实数集合 ${1, 2, 3, x}$ 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，求 $x$ 的值。

第 3 题

平面直角坐标系中， $e$ 是单位向量，向量 $a$ 满足 $a \cdot e = 2$ ，且 $∣ a ∣^{2} \leq 5∣ a + t e ∣$ 对任意实数 $t$ 成立，求 $∣ a ∣$ 的取值范围。

第 4 题

设 $A, B$ 为椭圆 $Γ$ 的长轴顶点， $E, F$ 为 $Γ$ 的两个焦点， $∣ A B ∣ = 4$ ， $∣ A F ∣ = 2 + 3$ ， $P$ 为 $Γ$ 上一点，满足 $∣ PE ∣ \cdot ∣ PF ∣ = 2$ ，求 $△ PEF$ 的面积。

第 5 题

在 $1, 2, \dots, 10$ 中随机选出一个数 $a$ ，在 $- 1, - 2, \dots, - 10$ 中随机选出一个数 $b$ ，求 $a^{2} + b$ 被3整除的概率。

第 6 题

对任意闭区间 $I$ ，用 $M_{I}$ 表示函数 $y = sin x$ 在 $I$ 上的最大值。若正数 $a$ 满足 $M_{[0, a]} = 2 M_{[a, 2 a]}$ ，求 $a$ 的全部值。

第 7 题

正方体 $A BC D - EFG H$ 的一个截面经过顶点 $A, C$ 及棱 $EF$ 上一点 $K$ ，且将正方体分成体积比为 $3 : 1$ 的两部分，求 $E K / K F$ 。其中 $E, F, G, H$ 分别在 $A, B, C, D$ 正上方。

第 8 题

将6个数 $2, 0, 1, 9, 20, 19$ 按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），求产生的不同的8位数的个数。

第 9 题

在 $△ A BC$ 中， $BC = a, C A = b, A B = c$ 。若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等比中项，且 $sin A$ 是 $sin (B - A)$ 与 $sin C$ 的等差中项，求 $cos B$ 的值。

第 10 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $Ω$ 与抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ 恰有一个公共点，且圆 $Ω$ 与 $x$ 轴相切于 $Γ$ 的焦点 $F$ ，求圆 $Ω$ 的半径。

第 11 题

称一个复数数列 ${z_{n}}$ 为“有趣的”，若 $∣ z_{1} ∣ = 1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有 $4 z_{n + 1}^{2} + 2 z_{n} z_{n + 1} + z_{n}^{2} = 0$ 。求最大的常数 $C$ ，使得对一切有趣的数列及任意正整数 $m$ ，均有 $∣ z_{1} + \dots + z_{m} ∣ \geq C$ 。