2023 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

函数 $y={\log }_{2023}(x^2-9x-10)$ 的定义域为。

若实数 $m$ 满足 $2^{2^m}=4^{4^m}$，则 $m$ 的值为。

若双曲线 ${\Gamma }_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的离心率为 $3$，则双曲线 ${\Gamma }_2:\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ 的离心率为。

设 $n$ 为正整数。从 $1,2,\dots ,n$ 中随机选出一个数 $a$，若事件“$2<\sqrt{a}\le 4$”发生的概率为 $\frac{2}{3}$，则 $n$ 的所有可能的值为。

平面上五点 $A,B,C,D,E$ 满足 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}$， $\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{EB}=4$， $\overrightarrow{EB}\cdot \overrightarrow{EC}=5$， $\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{ED}=8$，则 $\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{ED}$ 的值为。

将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列
（前若干项依次为 $3,5,7,8,11,13,\dots$），则该数列的第 $2023$ 项的值为。

设 $P-ABCD$ 与 $Q-ABCD$ 为两个正四棱锥，且 $\angle PAQ=90^{\circ }$。点 $M$ 在线段 $AC$ 上，且 $CM=3AM$。将异面直线 $PM,QB$ 所成的角记为 $\theta$，则 $\cos \theta$ 的最大可能值为。

七张标有 $A,B,C,D,E,F,G$ 的正方形卡片构成下图。现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按 $D,A,B,E,C,F,G$ 的次序取走卡片，但不可按 $D,B,A,E,C,F,G$ 的次序取走卡片），则取走这七张卡片的不同次序的数目为。

（本题满分 $16$ 分）将方程 $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的所有正实数解从小到大依次记为 $x_1,x_2,x_3,\dots$。求 $x_1+x_2+\cdots +x_{20}$ 的值。

（本题满分 $20$ 分）平面直角坐标系中，圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴均相切，与椭圆

有唯一的公共点 $A(8,9)$，且 $\Omega$ 的圆心位于 $\Gamma$ 内。试比较 $\Omega$ 的直径与 $\Gamma$ 的焦距的大小。

（本题满分 $20$ 分）求出所有满足下面要求的不小于 $-1$ 的实数 $t$：对任意 $a\in [-2,t]$，总存在 $b,c\in [-2,t]$，使得 $ab+c=1$。