2016 年中科大少年班初试

$3^{2016}$除以100的余数为。

复数$z_1,z_2$满足$|z_1|=2$、$|z_2|=3$、$|z_1+z_2|=4$，则$\overline{z_1}/z_2=\underline{}$。

用$S(A)$表示集合$A$的所有元素之和。若$A\subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，且$S(A)$能被3整除，但不能被5整除，则满足条件的非空集合$A$的个数为。

已知在$△ABC$中，$\sin A+2\sin B\cos C=0$，则$\tan A$的最大值为。

若对任意实数$x$都有$|2x-a|+|3x-2a|\ge a^2$，则$a$的取值范围为。

若$\alpha \in (\pi /4,\pi /2)$、$b\in (0,1)$，并设$x=(\sin \alpha {)}^{{\log }_b(\sin \alpha )}$、$y=(\cos \alpha {)}^{{\log }_b(\cos \alpha )}$，则$x$与$y$的大小关系为（填$>,=,<$）。

梯形$ABCD$中，$AB\Vert CD$，对角线$AC,BD$交于$P_1$。过$P_1$作$AB$的平行线交$BC$于$Q_1$，$A{Q}_1$交$BD$于$P_2$，过$P_2$作$AB$的平行线交$BC$于$Q_2$，$\dots$。若$AB=a$、$CD=b$，则$P_n{Q}_n=\underline{}$（用$a,b,n$表示）。

数列$\{a_n\}$中，$a_n$是与$\sqrt{n}$最接近的整数，则$\sum _{n=1}^{2016}\frac{1}{a_n}=\underline{}$。

已知$a,b,c>0$且$a+b+c=3$，求证

求所有满足“对任意正整数$x\ne y$，都有$0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|$”的函数$f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$。

求方程$2^x-5^y\cdot 7^z=1$的所有非负整数解$(x,y,z)$。