培玉 · 一试

2021 年重庆预赛

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第 1 题

设正实数 $a, b, c$ 满足 $ab c = 1 0^{11}$ ，且

l g a \cdot l g (b c) + l g b \cdot l g (c a) + l g c \cdot l g (ab) = 40,

则 $l g^{2} a + l g^{2} b + l g^{2} c =$ 。

第 2 题

已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时 $f (x) = x^{2}$ ，则不等式

f (f (x)) + f (x - 1) < 0

的解集为。

第 3 题

已知

f (x) = 2 m x^{2} - 2 m x - 8 x + 9, g (x) = m x - m .

对任意 $x \in R$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是。

第 4 题

过抛物线 $E : y^{2} = 2 x$ 的焦点 $F$ 作两条斜率之积为 $- 1/2$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 交 $E$ 于 $A, C$ 两点， $l_{2}$ 交 $E$ 于 $B, D$ 两点。则 $∣ A C ∣ + 2∣ B D ∣$ 的最小值为。

第 5 题

已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足

∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{1} - 2 z_{2} ∣, z_{1} \overline{z_{2}} = 3 (1 - i),

$i$ 为虚数单位，则 $z_{1} / z_{2} =$ 。

第 6 题

设正三棱锥 $P - A BC$ 的底面边长为 $1$ ，高为 $2$ 。过底边 $BC$ 作此三棱锥的截面，则截面面积的最小值为。

第 7 题

已知点 $H$ 是 $△ A BC$ 的垂心，且

H A + 2 H B + 6 H C = 0,

则 $∠ B =$ 。

第 8 题

已知 $x_{i} \in {- 1, 1}$ ， $i = 1, 2, \dots, 2021$ ，并且

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} \geq 0 (k = 1, 2, \dots, 2020),

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{2021} = - 1.

则有序数组 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2021})$ 的组数为。

第 9 题

数列 ${a_{n}}$ 的相邻两项 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 为二次方程

x^{2} - 3 n x + c_{n} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

的两个根。当 $a_{1} = 1$ 时，求 $c_{n}$ 。

第 10 题

设自然数 $n \geq 3$ ，实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 满足

i = 1 \sum n x_{i} = n, i = 1 \sum n x_{i}^{2} = n^{2} .

求 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{3}$ 的最小值及取最小值时的 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 。

第 11 题

在平面直角坐标系中，已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点。设点 $D (1, 0)$ 为线段 $O F_{2}$ 的中点，直线 $MN$ （不与 $x$ 轴重合）过点 $F_{1}$ 且与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，延长 $M D, N D$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点。设直线 $MN, PQ$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 。将 $k_{2} / k_{1}$ 表示成关于 $a$ 的函数 $f (a)$ ，并求 $f (a)$ 的值域。