2010 年陕西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设集合 $A = {5, lo g_{2} (a + 3)}$ ， $B = {a, b}$ ，其中 $a, b \in R$ 。若 $A \cap B = {1}$ ，则 $A \cup B =$ 。

如图，在第一象限内，矩形 $A BC D$ 的三个顶点 $A, B, C$ 分别在函数

y = lo g_{\frac{2}{2}} x, y = x^{\frac{1}{2}}, y = (\frac{3}{2})^{x}

的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴。若点 $A$ 的纵坐标为 $2$ ，则点 $D$ 的坐标为。

将四个全等的直角三角形可以拼成如图①所示的正方形（弦图），还可以拼成如图②所示的菱形。若图①中大正方形的面积为 $100$ ，小正方形的面积为 $4$ ，则图②中菱形的一个锐角的余弦值为

。

一个长方体的体对角线长为 $10$ ，这条对角线在长方体一个表面上的投影长为 $8$ ，则这个长方体体积的最大值为。

从一个正方体的 $8$ 个顶点中取出 $3$ 个，则以这 $3$ 个点为顶点构成直角三角形的概率是。

设 $a, b, c$ 是三个素数（质数），且满足

ab c = 5 (a + b + c),

则这三个数从小到大依次是。

若关于 $x$ 的方程

x^{3} + a x^{2} + b x - 4 = 0 (a, b \in N^{*})

有正整数解，则 $∣ a - b ∣ =$ 。

设对任意的正整数 $n$ ，都有

\frac{1}{n} 1 - (\frac{1}{n})^{2} + 1 - (\frac{2}{n})^{2} + \dots + 1 - (\frac{n - 1}{n})^{2} < a,

a < \frac{1}{n} 1 + 1 - (\frac{1}{n})^{2} + \dots + 1 - (\frac{n - 1}{n})^{2} 。

则实数 $a =$ 。

（16 分）在 $△ A BC$ 中， $A B \cdot A C = 8$ ，记 $∠ B A C = θ$ ， $△ A BC$ 的面积为 $S$ ，且满足

4 (2 - 3) \leq S \leq 43 。

（1）求 $θ$ 的取值范围；

（2）求函数

f (θ) = 23 sin^{2} (\frac{π}{4} + θ) + 2 cos^{2} θ - 3

的最大值和最小值。

（20 分）设动圆圆心在抛物线

y = \frac{1}{4} x^{2}

上，半径等于该圆圆心的纵坐标。求所有这样的圆上点的集合。