培玉 · 一试

2012 年河南预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

在小于 $20$ 的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被 $3$ 整除，则不同的取法种数为
。

第 2 题

本题整理中，不计分。

第 3 题

在 $△ A BC$ 中， $∠ C = 9 0^{\circ}$ ， $∠ B = 3 0^{\circ}$ ， $A C = 2$ ， $M$ 为 $A B$ 中点。将 $△ A CM$ 沿 $CM$ 折起，使 $A, B$ 之间的距离为 $22$ ，则点 $M$ 到面 $A BC$ 的距离为。

第 4 题

若锐角 $α$ 满足

\frac{1}{tan ( α /2 )} = 23 tan 1 0^{\circ} + tan (α /2),

则角 $α$ 的度数为。

第 5 题

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ ∣ lo g_{2} x ∣, \frac{2}{3} x^{2} - 8 x + \frac{70}{3}, 0 < x \leq 4, x > 4,

若 $a, b, c, d$ 互不相同，且 $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，则 $ab c d$ 的取值范围是。

第 6 题

各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若

2 a_{4} + a_{3} - 2 a_{2} - a_{1} = 8,

则 $2 a_{8} + a_{7}$ 的最小值为。

第 7 题

一只蚂蚁由长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $A$ 出发，沿着长方体的表面到达顶点 $C_{1}$ ，最短距离为 $6$ ，则长方体的体积最大值为。

第 8 题

$[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，则

[lo g_{2} 1] + [lo g_{2} 2] + [lo g_{2} 3] + \dots + [lo g_{2} 2012] = 。

第 9 题

如图，已知四棱锥 $E$ - $A BC D$ 的底面为菱形，且

∠ A BC = 6 0^{\circ}, A B = EC = 2, A E = BE = 2 .

(1)
求证：平面 $E A B ⊥$ 平面 $A BC D$ ；
(2)
求二面角 $A$ - $EC$ - $D$ 的余弦值。

第 10 题

已知函数

f (x) = \frac{ln ( 1 + x )}{x} .

(1)
当 $x > 0$ 时，求证 $f (x) > \frac{2}{x + 2}$ ；
(2)
当 $x > - 1$ 且 $x \neq = 0$ 时，不等式
$f (x) < \frac{1 + k x}{1 + x}$
成立，求实数 $k$ 的值。

第 11 题

数列 ${x_{n}}$ 中， $x_{1} = 1$ ，且

x_{n + 1} = 1 + \frac{1}{x _{n} + 1} .

(1)
设 $a_{n} = \frac{1}{x _{n} + 2}$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
设 $b_{n} = ∣ x_{n} - 2 ∣$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，证明 $S_{n} < \frac{2}{2}$ 。

第 12 题

已知椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $P$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上任意一点。过 $P$ 作椭圆的切线 $P A, PB$ ，切点分别为 $A, B$ ，求 $P A \cdot PB$ 的最大值和最小值。