2009 年山西预赛

公差为 $d$、各项皆为正整数的等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1=1949$，$a_n=2009$，则 $n+d$ 的最小值是。

若 $\tan \alpha =3\tan \beta$（$0\le \beta \le \alpha <\frac{\pi }{2}$），则 $\alpha -\beta$ 的最大值是。

设椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的两焦点为 $F_1,F_2$，过右焦点 $F_2$ 作倾角为 $\frac{\pi }{4}$ 的弦 $AB$，则 $△AB{F}_1$ 的面积为。

四面体 $ABCD$ 中，$\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=60^{\circ }$，$△ADB$、$△BDC$、$△CDA$ 的面积分别为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$、$2$、$1$，则四面体的体积为。

函数

的最小值为。

以正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 的顶点为顶点的四面体的个数是。

若抛物线 $y=p{x}^2$ 与以 $A(1,1)$、$B(2,1)$、$C(2,2)$、$D(1,2)$ 为顶点的正方形有公共点，则实数 $p$ 的取值范围是。

将 $M=\{1,2,\dots ,9\}$ 中的每两个相异数作乘积，则所有这些乘积的和为。

$P_0$ 是直线 $l$ 外的任意一点。对于 $l$ 上的任意三点 $M_1,M_2,M_3$，若 $△P_0{M}_2{M}_3$、$△P_0{M}_1{M}_3$、$△P_0{M}_1{M}_2$ 的外接圆圆心分别为 $P_1,P_2,P_3$，证明：$P_0,P_1,P_2,P_3$ 四点共圆。

设 $M$ 为 $n$ 元集。若 $M$ 有 $k$ 个不同的子集 $A_1,A_2,\dots ,A_k$，满足对于每个 $i,j\in \{1,2,\dots ,k\}$，$A_i\cap A_j\ne \varnothing$，求正整数 $k$ 的最大值。

有七种颜色的珍珠，共计 $14$ 颗，其中每种颜色的珍珠各两颗；今把这些珍珠分装于七个珠盒中，使得每个珠盒中各有一对不同颜色的珍珠。

1. (1)

   证明：不论各盒中的珍珠怎样搭配，总可以将这七个珠盒分别放置于一个正七边形的七个顶点之上，使得七边形的任两个相邻顶点处所放置的盒中的四颗珍珠互不同色。

2. (2)

   如将以上条件与待证结论中的“七”一律改为“五”，“14”改为“10”，则情况如何？