2009 年山西预赛 · 第 6 题

解答

八顶点选四共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$ 组。将正方体上下两面视为两层。四点同在一层共两组，均共面；三点在一层、一点在另一层不共面，因为同层任意三顶点决定该面。 若每层各取两点，四点共面当且仅当两层的点对所在直线平行。每层四个顶点的点对分为两个水平向、两个竖直向和两个不同对角向。因此平行点对组合数为 $2\cdot 2+2\cdot 2+1+1=10$。共面组共 $2+10=12$，所求为