培玉 · 一试
2009 年山西预赛 · 第 8 题
F1填空题经典的计数模型
将 中的每两个相异数作乘积，则所有这些乘积的和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
平方展开把不同两数乘积各计两次，扣去平方项再除二。
解答
记所求为 。则
所以 。
复核
题目每两个相异数的乘积按无序对计，平方展开中的有序交叉项出现两次；减去的285正好是全部对角项。
方法总结
全体无序两元素乘积和可用总和平方减平方和，最后核对二倍计数。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
利用平方展开统一计算所有不同两数的乘积，注意去掉对角项并除以二。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：展开模平方与数量积
已记下，谢谢！