培玉 · 一试

2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷）

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

函数 $f (x) = sin 2022 x + ∣ x - 11∣ + ∣ x - 27∣$ 的最小值为。

第 2 题

若正数 $a, b$ 满足 $lo g_{2} a + lo g_{4} b = 8$ ， $lo g_{4} a + lo g_{8} b = 2$ ，则 $lo g_{8} a + lo g_{2} b$ 的值为。

第 3 题

若无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的各项和为 $1$ ，各项的绝对值之和为 $2$ ，则首项 $a_{1}$ 的值为。

第 4 题

设 $a$ 为实数，若存在实数 $t$ ，使得 $\frac{a - i}{t - i} + i$ 为实数（ $i$ 为虚数单位），则 $a$ 的取值范围是。

第 5 题

在平面直角坐标系中， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $Ω : x^{2} - \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $Ω$ 于两点 $P, Q$ 。若 $F_{1} F_{2} \cdot F_{1} P = 16$ ，则 $F_{2} P \cdot F_{2} Q$ 的值为。

第 6 题

如图，正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}, B B_{1}$ 的中点，过 $D, M, N$ 三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形 $Γ$ ，则 $Γ$ 在顶点 $D$ 处的内角的余弦值为。

第 7 题

在 $1, 2, \dots, 10$ 中随机选出三个不同的数，它们两两互素的概率为。

第 8 题

设 $k, l, m$ 为实数， $m \neq = 0$ 。在平面直角坐标系中，函数 $y = f (x) = k + \frac{m}{x - l}$ 的图像为曲线 $C_{1}$ ，另一函数 $y = g (x)$ 的图像为曲线 $C_{2}$ ，且满足 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 关于直线 $y = x$ 对称。若点 $(1, 4), (2, 3), (2, 4)$ 都在曲线 $C_{1}$ 或 $C_{2}$ 上，则 $f (k + l + m)$ 的值为。

第 9 题

（本题满分 $16$ 分）已知 $△ A BC$ 及其边 $BC$ 上的一点 $D$ 满足： $A B = 2 B D$ ， $A C = 3 C D$ ，且以 $A, D$ 为焦点可以作一个椭圆 $Γ$ 同时经过 $B, C$ 两点，求 $Γ$ 的离心率。

第 10 题

（本题满分 $20$ 分）已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为非负实数，且满足：对任意整数 $n \geq 2$ ，均有 $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1} + n$ 。若 $a_{2} a_{2022} = 1$ ，求 $a_{1}$ 的最大可能值。

第 11 题

（本题满分 $20$ 分）给定整数 $n$ （ $n \geq 2$ ）。对于一个 $2 n$ 元有序数组

T = (a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \dots, a_{n}, b_{n}),

若 $T$ 的每个分量均为 $0$ 或 $1$ ，且对任意 $p, q$ （ $1 \leq p < q \leq n$ ），均有

(a_{p}, b_{p}, b_{q}) \neq = (1, 0, 1), (a_{q}, b_{q}, a_{p}) \neq = (1, 0, 0),

则称 $T$ 为“有趣数组”。求有趣数组的个数。