2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

集合 $A=\{n\mid n^3<2022<3^n,n\in \mathbb{Z}\}$ 的所有元素之和为。

设函数 $f(x)=\frac{x^2+x+16}{x}$（$2\le x\le a$），其中实数 $a>2$。若 $f(x)$ 的值域为 $[9,11]$，则 $a$ 的取值范围是。

一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的 $9$ 倍，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为。

若复数 $z$ 满足：$\frac{z-3\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}$ 为负实数（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），$\frac{z-3}{z+1}$ 为纯虚数，则 $z$ 的值为。

若四棱锥 $P-ABCD$ 的棱 $AB,BC$ 的长均为 $\sqrt{2}$，其他各条棱长均为 $1$，则该四棱锥的体积为。

已知函数 $y=f(x)$ 的图像既关于点 $(1,1)$ 中心对称，又关于直线 $x+y=0$ 轴对称。若 $x\in (0,1)$ 时，$f(x)={\log }_2(x+1)$，则 $f({\log }_{2}10)$ 的值为。

在平面直角坐标系中，椭圆 $\Omega :\frac{x^2}{4}+y^2=1$，$P$ 为 $\Omega$ 上的动点，$A,B$ 为两个定点，其中 $B$ 的坐标为 $(0,3)$。若 $△PAB$ 的面积的最小值为 $1$，最大值为 $5$，则线段 $AB$ 的长为。

一个单位方格的四条边中，若有两条边染了颜色 $i$，另两条边分别染了异于 $i$ 色的另两种不同颜色，则称该单位方格是“$i$ 色主导”的。如图，一个 $1\times 3$ 方格表的表格线共含 $10$ 条单位长线段，现要对这 $10$ 条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得红色主导、黄色主导、蓝色主导的单位方格各有一个，这样的染色方式数为（答案用数值表示）。

（本题满分 $16$ 分）若 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 满足 $\sin A=\cos B=\tan C$，求 ${\cos }^{3}A+{\cos }^{2}A-\cos A$ 的值。

（本题满分 $20$ 分）给定正整数 $m$（$m\ge 3$）。设正项等差数列 $\{a_n\}$ 与正项等比数列 $\{b_n\}$ 满足：$\{a_n\}$ 的首项等于 $\{b_n\}$ 的公比，$\{b_n\}$ 的首项等于 $\{a_n\}$ 的公差，且 $a_m=b_m$。求 $a_m$ 的最小值，并确定当 $a_m$ 取得最小值时 $a_1$ 与 $b_1$ 的比值。

（本题满分 $20$ 分）在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma :\frac{x^2}{3}-y^2=1$。对平面内不在 $\Gamma$ 上的任意一点 $P$，记 ${\Omega }_P$ 为过点 $P$ 且与 $\Gamma$ 有两个交点的直线的全体。对任意直线 $l\in {\Omega }_P$，记 $M,N$ 为 $l$ 与 $\Gamma$ 的两个交点，定义 $f_P(l)=|PM|\cdot |PN|$。若存在一条直线 $l_0\in {\Omega }_P$ 满足：$l_0$ 与 $\Gamma$ 的两个交点位于 $y$ 轴异侧，且对任意直线 $l\in {\Omega }_P$，$l\ne l_0$，均有 $f_P(l)>f_P(l_0)$，则称 $P$ 为“好点”。求所有好点所构成的区域的面积。