培玉 · 一试

2026 年浙江预赛

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第 1 题

设 $α, β \in R$ ，若 ${α} = {β}$ （ ${x}$ 表示 $x$ 的小数部分），则称 $α$ 与 $β$ 同类。设集合

A = {\frac{n}{2027} n \in N^{*}},

则集合 $A$ 中所有元素可以分为类。

第 2 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n = 1, 2, \dots),

则

[k = 1 \sum 2026 \frac{a _{k}}{2 ^{k}}] = 。

第 3 题

设关于 $x$ 的一元二次方程

x^{2} + z_{1} x - z_{2} + a = 0 (z_{1}, z_{2}, a \in C)

的两个根为 $α, β$ ，且

∣ α - β ∣ = 22, z_{1}^{2} + 4 z_{2} = 2 + 23 i .

则 $∣ a ∣$ 的最大值为。

第 4 题

设 $a, b$ 为平面上的单位向量，且 $⟨ a, b ⟩ = 6 0^{\circ}$ 。若 $0 \leq t \leq 1$ ，则

(1 - t) a + t b + (1 - t) a + (t - \frac{1}{4}) b

的最小值为。

第 5 题

现有棱长为 $1$ 的正四面体 $O - A BC$ ， $O$ 为空间直角坐标系原点。设 $P$ 为空间一点，实数 $x, y, z$ 满足

OP = x O A + y OB + z OC (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 3) .

则当

x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} z \geq 1

时， $P$ 点形成的轨迹的体积为。

第 6 题

设函数 $f : N^{*} \to N$ ，满足：对任意正整数 $m, n$ 都有

f (n + m) - f (n) - f (m) = 0 或 1,

且

f (2) = 0, f (3) > 0, f (9999) = 3333.

则 $f (2026) =$ 。

第 7 题

如图由 $16$ 个单位正方形组成网格。现从 $A$ 点沿网格线移动到 $B$ 点，要求：

①
只允许向右、向上、向下移动；
②
路径长度为 $12$ 个单位；
③
路径上无重复的点。

则这样的路径数目为。

第 8 题

已知 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}$ 满足

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 10, ∣ a_{i} - a_{i - 1} ∣ \leq 1 (i = 2, 3, \dots, 10) .

则

1 \leq i < j \leq 10 max ∣ a_{i} + a_{i + 1} + \dots + a_{j} ∣

的最大值为。

第 9 题

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1,

直线 $l : x = m y - 3 (m \neq = 0)$ 。若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 分别相交于 $A, B$ 两点， $l$ 与 $x$ 轴相交于 $P$ 点。分别以 $P A, PB$ 为直径作圆 $⊙ O_{1}, ⊙ O_{2}$ 。设 $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 的两条外公切线交于点 $Q$ ，求 $Q$ 点的轨迹方程。

第 10 题

已知 $△ A BC$ 为锐角三角形，求

\frac{sin 2 A}{3 + 2 cos 2 A} + \frac{sin 2 B}{3 + 2 cos 2 B} + \frac{sin 2 C}{3 + 2 cos 2 C}

的最大值。

第 11 题

设 $p$ 为素数，将 $n \times n$ 表格用 $p$ 种颜色染色。

(1)
若 $n = p^{2} + p$ ，证明无论如何染色，必有两行两列交叉处的 $4$ 格同色；
(2)
若 $n = p^{2}$ ，证明存在一种染色，使得不存在两行两列交叉处的 $4$ 格同色。